2024年高考真题分类汇编九空间向量与立体几何

试卷更新日期：2024-10-14 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若a，b为两条直线， $m$ 为一个平面，则下列结论中正确的是（）

A、若 $a / / m ， b \subset m$ ，则 $a / / b$ B、若 $a / / m, b / / m$ ，则 $a / / b$ C、若 $a / / m, b ⊥ m$ ，则 $a ⊥ b$ D、若 $a / / m, b ⊥ m$ ，则 $a$ 与 $b$ 相交

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2. 空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m ， n ，则下列说法中正确的是（）

A、若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B、若α⊥β，m⊥α，m⊥n ，则n⊥β C、若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n D、若α∥β，m∥α，m∥n ，则n∥β

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3. 已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m ．下列四个命题：
①若m∥n ，则n∥α或n∥β
②若m⊥n ，则n⊥α，n⊥β
③若n∥α，且n∥β，则m∥n
④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n
其中，所有真命题的编号是（）

A、①③ B、②③ C、①②③ D、①③④

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4. 已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4， $2 \sqrt{2}$ ， $2 \sqrt{2}$ ，则该四棱锥的高为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 已知正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{52}{3}, A B = 6, A_{1} B_{1} = 2$ ，则 $A_{1} A$ 与平面ABC所成角的正切值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 $\sqrt{3}$ ，则圆锥的体积为（）

A、 $2 \sqrt{3} π$ B、 $3 \sqrt{3} π$ C、 $6 \sqrt{3} π$ D、 $9 \sqrt{3} π$

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7. 一个五面体 $A B C - D E F$ .已知 $A D / / B E / / C F$ ，且两两之间距离为1.并已知 $A D = 1, B E =$ $2, C F = 3$ .则该五面体的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}$

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8. 定义一个集合 $Ω$ ，集合中的元素是空间内的点集，任取 $P_{1}, P_{2}, P_{3} \in Ω$ ，存在不全为0的实数 $λ_{1}$ ， $λ_{2}$ ， $λ_{3}$ ，使得 $λ_{1} \vec{O P_{1}} + λ_{2} \vec{O P_{2}} + λ_{3} \vec{O P_{3}} = \vec{0}$ .已知 $(1, 0, 0) \in Ω$ ，则 $(0, 0, 1) \notin Ω$ 的充分条件是( )

A、 $(0, 0, 0)$ B、 $(- 1, 0, 0)$ C、 $(0, 1, 0)$ D、 $(0, 0, - 1)$

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二、填空题

9. 已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为．

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10. 已知四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁底面ABCD为平行四边形，AA₁＝3，BD＝4且 $\vec{A B_{1}} \cdot \vec{B C} - \vec{A D_{1}} \cdot \vec{D C} = 5$ ，求异面直线AA₁与BD的夹角．

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11. 已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r₂和r₁ ，母线长分别为2（r₁﹣r₂）和3（r₁﹣r₂），则两个圆台的体积之比 $\frac{V_{甲}}{V_{乙}}$ ＝．

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三、解答题

12. 已知四棱锥P-ABCD ， $A D / / B C$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = 3$ ， $D E = P E = 2$ ， E是 $A D$ 上一点， $P E ⊥ A D$ ．

(1)、若F是PE中点，证明： $B F / /$ 平面 $P C D$ ．

(2)、若 $A B ⊥$ 平面 $P E D$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

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13. 已知四棱锥ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，A₁A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA₁=2，AD=DC=1．N是B₁C₁的中点，M是DD₁的中点．

(1)、求证 $D_{1} N / /$ 平面 $C B_{1} M$ ；

(2)、求平面 $C B_{1} M$ 与平面 $B B_{1} C C_{1}$ 的夹角余弦值；

(3)、求点 $B$ 到平面 $C B_{1} M$ 的距离.

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14. 如图，平面四边形ABCD中， $A B = 8, C D = 3, A D = 5 \sqrt{3}, ∠ A D C = 9 0^{°}, ∠ B A D = 3 0^{°}$ ，点E，F满足 $\vec{A E} = \frac{2}{5} \vec{A D}, \vec{A F} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ．将 $△ A E F$ 沿EF翻折至 $△ P E F$ ，使得 $P C = 4 \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $E F ⊥ P D$ ．

(2)、求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.

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15. 如图，在以A ， B ， C ， D ， E ， F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD=4，AB=BC=EF=2， $E D = \sqrt{10}$ ， FB= $2 \sqrt{3}$ ， M为AD的中点.

(1)、证明：BM∥平面 $C D E$ ；

(2)、求二面角 $F - B M - E$ 的正弦值．

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16. 如图，在以A ， B ， C ， D ， E ， F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD ， CD∥EF ， AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4， $A D = B C = \sqrt{10}$ ， $A E = 2 \sqrt{3}$ ， M为CD的中点．

(1)、证明：EM∥平面BCF；

(2)、求点M到ADE的距离．

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17. 如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，AB＝AC ．

(1)、证明：PA⊥BC；

(2)、若圆锥侧面积为 $\sqrt{3} π$ ， BC为底面直径，BC＝2，求二面角B﹣PA﹣C的大小．

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18. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD ， PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝ $\sqrt{3}$ ．

(1)、若AD⊥PB ，证明：AD∥平面PBC；

(2)、若AD⊥DC ，且二面角A﹣CP﹣D的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ，求AD ．

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19. 如图为正四棱锥 $P - A B C D$ ， O为底面ABCD的中心.

(1)、若 $A P = 5$ ， $A D = 3 \sqrt{2}$ ，求 $△ P O A$ 绕PO旋转一周形成的几何体的体积；

(2)、若 $A P = A D$ ， E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小.

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2024年高考真题分类汇编九 空间向量与立体几何

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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