河北省廊坊市第十五中学等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-07-14 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设复数 $z = - 1 + \sqrt{3} i$ ，则 $i (z - \bar{z}) =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{3}$ B、 $- 2 \sqrt{3} i$ C、 $- 2$ D、 $- 2 i$

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2. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b = 4 c$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，则 $sin C =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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3. 某公司共有940名员工，其中女员工有400人.为了解他们的视力状况，用分层随机抽样（按男员工、女员工进行分层）的方法从中抽取一个容量为47的样本，则男员工的样本量为（）

A、21 B、24 C、27 D、30

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4. 若某圆台的上底面半径、下底面半径分别为1，2，高为5，将该圆台的下底面半径扩大为原来的2倍，上底面半径与高保持不变，则新圆台的体积比原圆台的体积增加了（）

A、1倍 B、2倍 C、3倍 D、4倍

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5. 若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ， $|\vec{b}| = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $|\vec{a}|$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ B、 $|\vec{a}|$ 的最大值为1 C、 $|\vec{a}|$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$ D、 $|\vec{a}|$ 的最小值为1

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6. 如图，在四棱锥 $O - A B C D$ 中，侧棱长均为 $\sqrt{2}$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为 $\sqrt{3} - 1$ ， $E$ ， $F$ 分别是线段 $O B$ ， $O C$ 上的一点，则 $A E + E F + F D$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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7. 从正四面体 $A B C D$ 的6条棱中任选2条，这2条棱所在直线互相垂直的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）.某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底 $A$ ， $B$ （ $A$ 为东塔塔底， $B$ 为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点 $C$ ，并测得 $A B = 22$ 米.在点 $C$ 测得东塔顶的仰角为 $45 ^{\circ}$ ，在点 $C$ 测得西塔顶的仰角为 $α (tan α = 1.5)$ ，且 $cos ∠ A C B = 0.75$ ，则苏州双塔的高度为（）

A、30米 B、33米 C、36米 D、44米

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 在正 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点，则（）

A、 $〈 \vec{B A}, \vec{A D} 〉 = \frac{π}{6}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{2}{3} {\vec{A D}}^{2}$ C、 $\vec{B D} = \vec{D A} - \vec{C A}$ D、 $\vec{B D}$ 在 $\vec{B A}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{4} \vec{B A}$

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10. 若 $z = i^{3} + i^{16}$ ，则（）

A、 $|z| = 2$ B、 $z^{6}$ 的虚部为8 C、 $\frac{1}{1 + z^{6}} = \frac{1 - 8 i}{65}$ D、 $1 - z^{6}$ 在复平面内对应的点位于第二象限

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11. 在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，则（）

A、正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的侧面积为24 B、 $A_{1} B$ 与平面 $B D D_{1} B_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{22}}{11}$ C、异面直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值为 $\frac{8}{13}$ D、三棱锥 $A_{1} - A B D$ 内切球的半径为 $\frac{8 - \sqrt{22}}{7}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

12. 若一组数据3，4，6， $m$ ， 8，3，7，9的第40百分位数为6，则正整数 $m$ 的最小值为.

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13. 已知向量 $\vec{a} = (t, - 1)$ ， $\vec{b} = (t, 16 t)$ ， $t \neq 0$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则t的取值范围是（用区间表示）.

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14. 在底面为正方形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 5$ ， $P D = 4$ ， $\vec{P E} = λ \vec{P D}$ ， $P B / /$ 平面 $E A C$ ，则 $λ =$ ，四面体 $A C D E$ 的外接球的表面积为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在 $[45, 95]$ 内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按 $[45, 55)$ ， $[55, 65)$ ， $[65, 75)$ ， $[75, 85)$ ， $[85, 95]$ 分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）；

(3)、记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数.

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16. 如图，在各棱长均为2的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ ， $E$ ， $G$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点， $\vec{A F} = 3 \vec{F A_{1}}$ .

(1)、求点 $B$ 到平面 $A C G$ 的距离；

(2)、证明：平面 $A C G / /$ 平面 $D E F$ .

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17. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.7，乙每次投篮的命中率均为0.5，甲、乙每次投篮的结果相互独立.

(1)、若第1次投篮的人是甲，求第3次投篮的人是甲的概率；

(2)、若第1次投篮的人是乙，求前5次投篮中乙投篮次数不少于4的概率.

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18. 在锐角 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $c = 2$ .

(1)、若 $C = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

(2)、设 $a cos B = b cos A + \frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $sin (A - B) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ .
（ⅰ）求 $△ A B C$ 外接圆的半径 $R$ ；
（ⅱ）求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = 3 \sqrt{2}$ .

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ .

(2)、若以 $P$ 为球心，半径为 $\sqrt{17}$ 的球与直线 $B C$ 只有1个公共点，求二面角 $P - B C - A$ 的正切值.

(3)、已知当 $x = \sqrt{6}$ 时， $f (x) = x ^{3} - 18 x (x > 0)$ 取得最小值.请根据这条信息求正四棱锥 $P - A B C D$ 体积的最大值.

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