湖北省十堰市郧阳区第一中学2023-2024学年5月月考数学试题

试卷更新日期：2024-08-22 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x \in N| x \leq 5\}$ ，集合 $B = \{x| x^{2} - 4 x + 3 > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{0, 1, 3, 4, 5\}$ C、 $\{0, 4, 5\}$ D、 $\{4, 5\}$

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2. 已知复数 $z = \frac{3 - 4 i}{2 + 2 \sqrt{3} i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{25}{16}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{25}{4}$ D、 $\frac{5}{16}$

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3. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，给出以下两个命题：①若数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为 0 的等差数列，则对于任意不小于 2 的正整数 k， $S_{1} \cdot S_{2} \dots S_{2 k - 1} = 0$ 是 $a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{k} = 0$ 的必要非充分条件；②若数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则对于任意不小于2的正整数k， $S_{1} \cdot S_{2} \cdot S_{k} = 0$ 是 $a_{k} + a_{k + 1} = 0$ 的充要条件；下列判断正确的是（）

A、①②均正确 B、①②均错误 C、①对②错 D、①错②对

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4. 已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\tan (\frac{3 π}{4} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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5. 若函数 $h (x) = ln x - \frac{1}{2} a x^{2} - 2 x$ 在 $[1, 4]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- \infty, - \frac{7}{16}]$ D、 $(- \infty, - \frac{7}{16})$

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6. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - {sin}^{2} x + \frac{1}{2}}{e^{x} - e^{- x}}$ 的部分图象大致为（）.

A、 B、 C、 D、

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7. 已知圆锥的顶点为 $S$ ，母线 $S A, S B$ 所成角的余弦值为 $\frac{7}{8}$ ，且该圆锥的母线是底面半径的 $\sqrt{2}$ 倍，若 $△ S A B$ 的面积为 $5 \sqrt{15}$ ，则该圆锥的表面积为（）

A、 $40 \sqrt{2} π$ B、 $(40 + 40 \sqrt{2}) π$ C、 $80 \sqrt{2} π$ D、 $(40 + 80 \sqrt{2}) π$

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8. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线与双曲线 $C$ 的左、右两支分别交于 $A$ ， $B$ 两点.若 $| A B | = \frac{8}{3} |A F_{1}|$ ，且 $\cos ∠ F_{1} B F_{2} = \frac{1}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、3

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法中，正确的是（）

A、数据 $40, 27, 32, 30, 38, 54, 31, 50$ 的第 $50$ 百分位数为 $32$ B、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, δ^{2})$ ， $P (ξ < 4) = 0.84$ ；则 $P (2 < ξ < 4) = 0.34$ C、已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ，若 $\hat{b} = 2, x = 1, y = 3$ ，则 $\hat{a} = 1$ D、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的方差为 $2$ ，则数据 $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1, \dots, 2 x_{10} - 1$ 的方差为4

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10. 已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若 $a = 1$ ，且 $\sin A - b \sin B = (c + b) \sin C$ ，则（）

A、 $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $R = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $B C$ 边上的高的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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11. 设函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} + 1$ ，则（）．

A、当 $a > 1$ 时， $f (x)$ 有三个零点 B、当 $a < 0$ 时， $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点 C、存在a，b，使得 $x = b$ 为曲线 $y = f (x)$ 的对称轴 D、存在 $a$ ，使得点 $(1, f (1))$ 为曲线 $y = f (x)$ 的对称中心

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} - a_{n} = 2$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{4} = 4$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前20项的和为．

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13. 在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $A A_{1} = 6$ ， M，N分别是 $A B$ ， $A D$ 的中点，则平面 $M N C_{1}$ 截该四棱柱所得截面的周长为．

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14. 已知抛物线 $x^{2} = 2 y$ 与圆 $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相交于四个不同的点 $A, B, C, D$ ，则r的取值范围为，四边形 $A B C D$ 面积的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起.某企业着力推进技术革新，利润稳步提高.统计该企业 $2019$ 年至 $2023$ 年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图.其中 $2019$ 年至 $2023$ 年对应的年份代码依次为 $1, 2, 3, 4, 5$ .
我们给定一些参考公式和数据： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \times \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \times {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x$ ，
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{4} = 979$ ， $\sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 390$ ， $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = 1221$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} y_{i} = 4607.9$

(1)、根据散点图判断， $y = a + b x$ 和 $y = c + d x^{2}$ 哪一个适宜作为企业利润 $y$ （单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型.（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）中的判断结果，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(3)、根据（2）的结果，估计 $2024$ 年的企业利润.

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16. 如图，在三棱台 $A B C - D E F$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C F E$ ， $A F ⊥ D E$ ， $∠ A B C = ∠ C B F = 45^{\circ}$ ， $A C > A B = 1$ ．

(1)、求三棱台 $A B C - D E F$ 的高；

(2)、若直线 $A C$ 与平面 $A B F$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，求 $B C$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = a^{x} + 2^{x} - 2$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 是偶函数，求a的值；

(2)、若 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ，求a的取值范围．

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18. 已知点 $A (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上， $A$ 到 $E$ 的两焦点的距离之和为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过抛物线 $C : y = x^{2} - m (m > 1)$ 上一动点 $P$ ，作 $E$ 的两条切线分别交 $C$ 于另外两点 $Q, R$ ．
（ⅰ）当 $P$ 为 $C$ 的顶点时，求直线 $Q R$ 在 $y$ 轴上的截距（结果用含有 $m$ 的式子表示）；
（ⅱ）是否存在 $m$ ，使得直线 $Q R$ 总与 $E$ 相切．若存在，求 $m$ 的值；若不存在，说明理由．

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19. 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 $y, q \in R, n \in N^{*}$ ，记 $[n] = 1 + q + \dots + q^{n - 1} ， [n]! = [n] \times [n - 1] \times \dots \times [1]$ ，并规定 $[0]! = 1$ .记 $F (x, n) = {(x + y)}_{q}^{n}$ $= (x + y) (x + q y) \dots (x + q^{n - 1} y)$ ，并规定 $F (x, 0) = {(x + y)}_{q}^{0} = 1$ .定义 $D_{q}^{k} F (x, n) =$ $= \{\begin{cases} F (x, n), k = 0 \\ [n] [n - 1] \dots [n - k + 1] {(x + y)}_{q}^{n - k}, k = 1, 2, \dots, n \end{cases}$ .

(1)、若 $y = q = 1$ ，求 $F (x, 2)$ 和 $D_{q}^{1} F (x, 2)$ ；

(2)、求 $\frac{[n - k]!}{[n]!} D_{q}^{k} F (0, n)$ ；

(3)、证明： $F (x, n) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{D_{q}^{k} F (0, n)}{[k]!} x^{k}$ $.$

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