广东省惠州市龙门县高级中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

试卷更新日期：2024-08-21 类型：月考试卷

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一、单选题（共40分）

1. 设全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8}$ ，集合 $M = {0 ， 4 ， 6} ， N = {0 ， 1 ， 6}$ ，则 $M \cup ∁_{U} N =$ （）

A、 ${0 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8}$ B、 ${0 ， 1 ， 4 ， 6 ， 8}$ C、 ${1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8}$ D、 $U$

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2. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{2} + a_{6} = 10 ， a_{4} a_{8} = 45$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、25 B、22 C、20 D、15

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3. $| 2 + i^{2} + 2 i^{3} | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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4. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $P A = P B = 2 ， P C = \sqrt{6}$ ，则该棱锥的体积为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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5. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .向量 $\vec{p} = (a + c, b)$ ， $\vec{q} = (b - a, c - a)$ .若 $\vec{p} / / \vec{q}$ ，则角 $C$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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6. 下列函数中，在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = - l n x$ B、 $f (x) = \frac{1}{2^{x}}$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = 3^{| x - 1 |}$

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7. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ²)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)等于( )

A、0.6 B、0.4 C、0.3 D、0.2

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8. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝ $\{\begin{matrix} \frac{c}{\sqrt{x}}, x < A, \\ \frac{c}{\sqrt{A}}, x \geq A \end{matrix}$ (A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是

A、75，25 B、75，16 C、60，25 D、60，16

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二、多选题（每题6分，共18分，全部对6分，部分选对得部分分，错选0分）

9. 已知函数 $f (x)$ 的图象是由函数 $y = 2 s i n x c o s x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为π B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称

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10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A ， B存在如下关系： $P (A | B) = \frac{P (A) P (B | A)}{P (B)}$ .现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为 $8 %$ ，乙车床加工的次品率 $6 %$ ，丙车床加工的次品率为 $5 %$ ，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的 $30 %$ ， $40 %$ ， $30 %$ ，设事件 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件B表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是（）

A、 $P (A_{2} B) = 0.024$ B、 $P (B | A_{3}) = 0.015$ C、 $P (B) = 0.063$ D、 $P (A_{1} | B) = \frac{8}{21}$

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11. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{λ + 6} - \frac{y^{2}}{3 - λ} = 1$ ，则（）

A、 $λ$ 的取值范围是 $(- 6, 3)$ B、 $C$ 的焦点可在 $x$ 轴上也可在 $y$ 轴上 C、 $C$ 的焦距为6 D、 $C$ 的离心率 $e$ 的取值范围为 $(1, 3)$

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三、填空题（每题5分，共15分）

12. 已知双曲线C的焦点为 $(- 2 ， 0)$ 和 $(2 ， 0)$ ，离心率为 $\sqrt{2}$ ，则C的方程为．

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13. 已知m、n是不同的直线， $α 、 β$ 是不重合的平面，给出下列命题：
①若 $α // β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m // n$ ；
②若 $m, n \subset α, m ∥ β, n ∥ β$ ，则 $α // β$ ；
③若 $m ⊥ α, n ⊥ β, m // n$ ，则 $α // β$ ；
④m，n是两条异面直线，若 $m // α, m // β, n // α, n // β$ ，则 $α // β$ ．
上面的命题中，真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）

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14. 已知函数 $f (x) = |\lg x| - k x - 2$ ，给出下列四个结论：
①若 $k = 0$ ， $f (x)$ 恰有2个零点；
②存在负数 $k$ ，使得 $f (x)$ 恰有1个零点；
③存在负数 $k$ ，使得 $f (x)$ 恰有3个零点；
④存在正数 $k$ ，使得 $f (x)$ 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是．

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四、解答题（共77分）

15. 已知函数 $f (x) = \frac{2 a x - a^{2} + 1}{x^{2} + 1} (x \in R)$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a \neq 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值．

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16. 已知向量 $\vec{a} = (c o s x ， s i n x) ， \vec{b} = (3 ， - \sqrt{3}) ， x \in [0 ， π]$ ．
（1）若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求x的值；
（2）记 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．

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17. 2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024・内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示：
场次编号x
1
2
3
4
5
观众人数y
0.7
0.8
1
1.2
1.3

(1)、已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程；

(2)、若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将 $2 \times 2$ 列联表补充完整，依据 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关．
购买A等票
购买非A等票
总计
男性观众
50
女性观众
60
总计
100
200
参考公式及参考数据：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.100
0.050
0.010
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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18. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，且过点 $P (1, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、设过C的左焦点且斜率为 $\sqrt{2}$ 的直线与C交于M ， N两点，求 $△ P M N$ 的面积．

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19. 设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{2} = 1, 2 S_{n} = n a_{n}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{a_{n + 1}}{2^{n}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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	购买A等票	购买非A等票	总计
男性观众		50
女性观众	60
总计		100	200

场次编号x	1	2	3	4	5
观众人数y	0.7	0.8	1	1.2	1.3

$α$	0.100	0.050	0.010
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635