广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷

试卷更新日期：2024-09-01 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合 $A = {x \in N | y = \frac{12}{x + 3} \in N}$ ，则集合 $A$ 的真子集个数为（）

A、7 B、8 C、15 D、16

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2. 若 $z^{2} = - 7 - 24 i$ ，则复数z的虚部（）

A、4 B、 $- 4$ C、 $\pm 4$ D、 $- 4 i$

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3. 已知 $x > 1$ ， $y > 0$ ， $x + y = 2$ ，则 $(x - 1) \cdot y$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、1

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4. 在平面内，设 $\vec{n}$ 是直线 $l$ 的法向量， $A$ 、 $B$ 为两个定点， $A \in l, B \notin l$ ， $P$ 为一动点，若点 $P$ 满足： $\frac{|\vec{P A} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = |\vec{P B}|$ ，则动点 $P$ 的轨迹是（）

A、圆 B、抛物线 C、椭圆 D、双曲线

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5. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{a_{7}}{a_{5}} = \frac{12}{13}$ ，则 $\frac{S_{13}}{S_{9}} =$ （）

A、 $\frac{9}{13}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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6. 已知直线 $l : (m - 1) x + 2 y + 3 - m = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 6 y = 0$ 交于 $A, B$ 两点，则线段 $A B$ 的长度的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{10}, 3 \sqrt{2}]$ B、 $[2 \sqrt{10}, 6 \sqrt{2}]$ C、 $[2 \sqrt{10}, 4 \sqrt{2}]$ D、 $[\sqrt{10}, 6 \sqrt{2}]$

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7. 若 $P (A |B) = \frac{1}{8}$ ， $P (A) = \frac{1}{8}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 的关系是（）

A、事件 $A$ 与 $B$ 互斥 B、事件 $A$ 与 $B$ 对立 C、事件 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、事件 $A$ 与 $B$ 既互斥又相互独立

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (1) = \frac{1}{2}$ ，且 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 的周期为4 C、 $f (2 x - 1)$ 关于 $x = \frac{1}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递减

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知 $f (x) = \sin (ω x + \frac{2 π}{3}) + \sqrt{3} \cos (ω x + \frac{2 π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期是 $π$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 是单调递增 B、 $f (x - \frac{π}{4})$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 的最大值是 $1 + \sqrt{3}$ D、 $(k π, 0) (k \in Z)$ 是 $f (x)$ 的对称中心

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球的体积为 $4 \sqrt{3} π, P$ 是空间中的一点，则下列命题正确的是（）

A、若点 $P$ 在正方体表面上运动，且 $A P = 2$ ，则点 $P$ 轨迹的长度为 $2 π$ B、若 $P$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 上的点（不包括点 $C_{1}, D_{1}$ ），则直线 $A P$ 与 $C C_{1}$ 是异面直线 C、若点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则始终有 $D_{1} P ⊥ A_{1} D$ D、若点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则三棱锥 $A - B_{1} P D_{1}$ 体积为定值

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11. 如图，P是椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0, n > 0)$ 在第一象限的交点， $∠ F_{1} P F_{2} = θ$ ，且 $C_{1}, C_{2}$ 共焦点的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $|P F_{1}| = a + m, |P F_{2}| = a - m$ B、若 $θ = 60^{\circ}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}} = 4$ C、若 $θ = 90^{\circ}$ ，则 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 的最小值为2 D、 $\tan \frac{θ}{2} = \frac{n}{b}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知M是抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若 $∠ M F O = 120^{\circ}$ ，则线段MF的长为.

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13. 已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是.

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14. 已知点A是函数 $y = 2 \ln x$ 图象上的动点，点B是函数 $y = \frac{x^{2}}{2}$ 图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为M，则 $|A B| + |B M|$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{2} + a_{5} = 12, S_{4} = 16$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{4 S_{n} - 1}, T_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和，求 $T_{n}$ 的值.

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16. 古希腊数学家托勒密对凸四边形 $($ 凸四边形是指没有角度大于 $180^{\circ}$ 的四边形 $)$ 进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形 $A B C D$ 中，

(1)、若 $A B = \sqrt{2}$ ， $B C = 1, ∠ A C D = \frac{π}{2}, A C = C D$ ， (图1)，求线段 $B D$ 长度的最大值；

(2)、若 $A B = a$ ， $B C = b$ ， $C D = c, D A = d$ ，（图2），求四边形 $A B C D$ 面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形 $A B C D$ 面积的最大值．

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17. 在 ${(1 + x + x^{2})}^{n} = D_{n}^{0} + D_{n}^{1} x + D_{n}^{2} x^{2} + \dots + D_{n}^{r} x^{r} + \dots + D_{n}^{2 n - 1} x^{2 n - 1} + D_{n}^{2 n} x^{2 n}$ 中，把 $D_{n}^{0}$ ， $D_{n}^{1}$ ， $D_{n}^{2}$ …， $D_{n}^{2 n}$ 称为三项式系数.

(1)、当 $n = 2$ 时，写出三项式系数 $D_{2}^{0}$ ， $D_{2}^{1}$ ， $D_{2}^{2}$ ， $D_{2}^{3}$ ， $D_{2}^{4}$ 的值；

(2)、 ${(a + b)}^{n} (n \in N)$ 的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当 $0 \leq n \leq 4$ ， $n \in N$ 时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的 $n$ 次系数的数阵表；

(3)、求 $D_{2016}^{0} C_{2016}^{0} - D_{2016}^{1} C_{2016}^{1} + D_{2016}^{2} C_{2016}^{2} - D_{2016}^{3} C_{2016}^{3} + \dots + D_{2016}^{2016} C_{2016}^{2016}$ 的值（用组合数作答）.

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18. 如图1，平面图形 $P A B C D$ 由直角梯形 $A B C D$ 和 $Rt △ P A D$ 拼接而成，其中 $A B = B C = 1$ ， $B C ∥ A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = P D = \sqrt{2}$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P C$ 与 $A D$ 相交于点 $O$ ，现沿着 $A D$ 将其折成四棱锥 $P - A B C D$ （如图2）．

(1)、当侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ 时，求点 $B$ 到平面 $P C D$ 的距离；

(2)、在（1）的条件下，线段 $P D$ 上是否存在一点 $Q$ ．使得平面 $Q A C$ 与平面 $A C D$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ？若存在，求出 $\frac{P Q}{Q D}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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19. 已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，短轴的其中一个端点为 $B_{1}$ ，长轴端点为 $A_{1}, A_{2}$ ，且 $△ B_{1} F_{1} F_{2}$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形.

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程及离心率；

(2)、若双曲线 $C_{2}$ 以 $A_{1}, A_{2}$ 为焦点，以 $F_{1}, F_{2}$ 为顶点，点 $Q$ 为椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 的一个交点，求 $△ Q A_{1} A_{2}$ 的面积；

(3)、如图，直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆 $C_{1}$ 有唯一的公共点 $M$ ，过点 $M$ 且与 $l$ 垂直的直线分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于 $A (x, 0), B (0, y)$ 两点.当点 $M$ 运动时，求点 $P (x, y)$ 的轨迹方程.

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