新疆乌鲁木齐市新疆生产建设兵团第十二师第二中学2025届高三上学期第一次月考数学试题

试卷更新日期：2024-08-31 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = {y | y = l n x}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 ≤ 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 0 < x ≤ 1}$ B、 ${x | - 3 ≤ x ≤ 1}$ C、 ${x | 0 < x ≤ 3}$ D、 ${x | - 1 ≤ x ≤ 3}$

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2. 若点 $(\sin \frac{5 π}{6}, \cos \frac{5 π}{6})$ 在角 $α$ 的终边上，则 $\sin α$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 设 $a \in R$ ，则“ $a > - 2$ ”是“函数 $f (x) = 2 x^{2} + 4 a x + 1$ 在 $(2, + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} - 2 x^{2}, x > 0, \\ ln (1 - x), x \leq 0, \end{array}$ 则不等式 $f (x + 3) < f (x^{2} + 3 x)$ 的解集是（）

A、 $(- 3, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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5. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + x + 1$ 没有极值点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ B、 $[- \sqrt{3}, \sqrt{3}]$ C、 $(- \infty, - \sqrt{3})$ D、 $[\sqrt{3}, + \infty)$

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6. 已知函数 $f (x) = x + \sin x$ ， $x \in R$ ，若 $a = f (l o g_{2} 3)$ ， $b = f (l o g_{\frac{1}{3}} 2)$ ， $c = f (2^{- 2})$ 则a，b，c的大小为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $b > a > c$

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7. 已知 $x, y$ 为正实数，且 $x + y = 1$ ，则 $\frac{x + 2 y + 1}{x y}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 1$ B、 $2 \sqrt{2} - 1$ C、 $2 \sqrt{6} + 5$ D、 $2 \sqrt{6} - 5$

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8. 若函数 $f (x) = \ln x - x^{2} + a x$ 在 $x \in [\frac{1}{e}, e]$ 上有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1, e - \frac{1}{e})$ B、 $(1, e + \frac{1}{e})$ C、 $(1, e - \frac{1}{e}]$ D、 $(1, e + \frac{1}{e}]$

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 已知 $a, b, c \in R$ ，且 $a > b, a b c \neq 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $c - a < c - b$ D、 $2^{a} > 2^{b}$

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10. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{11 π}{12}, 0)$ 中心对称 C、 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{3}]$ 上的值域为 $[- 2, 1]$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $y = f (x - 1)$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称，且对任意的 $x \in R$ 都有 $f (- x) + f (x + 2) = 2, f (0) = - 1$ ，则下列正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (- 1) = - 1$ C、2是 $f (x)$ 的一个周期 D、 $\sum_{k = 1}^{2025} f (k) = 2025$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知扇形的周长为 $16 cm$ ，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为 ${cm}^{2}$ .

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13. 已知 $\tan θ = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{\sin (θ + π) - 2 \sin (θ - \frac{π}{2})}{\cos (- θ) + \sin (π - θ)}$ 的值为．

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14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\ln x|, x > 0, \\ - x^{2} + 1, x \leq 0, \end{array}$ 若方程 $f (x) = a$ 有三个不同的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $a x_{1} x_{2} x_{3}$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知 $m > 0$ ，函数 $f (x) = e^{x} - 2 x + m$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 1, 2]$ 上的值域.

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16. 为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动 $.$ 经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮 $.$ 在最后一轮比赛中，有 $A$ ， $B$ 两道问题 $.$ 其中问题 $A$ 为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；问题 $B$ 为必答题，甲、乙两人都要回答 $.$ 已知甲能正确回答每道题的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，乙能正确回答每道题的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且甲、乙两人各题是否答对互不影响．

(1)、求问题 $A$ 被回答正确的概率；

(2)、记正确回答问题 $B$ 的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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17. 已知函数f(x)＝ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ sin 2x－ $\frac{1}{2}$ cos 2x＋1.
（1）求f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
（2）若f(α)＝ $\frac{2}{5}$ ， α∈ $(\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6})$ ，求sin 2α的值．

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18. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示：
v
0
10
40
60
M
0
1325
4400
7200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：
① $M_{1} (v) = \frac{1}{40} v^{3} + b v^{2} + c v$ ；② $M_{2} (v) = 1000 \cdot {(\frac{2}{3})}^{v} + a$ ；③ $M_{3} (v) = 300 \log_{a} v + b$ ．

(1)、当 $0 \leq v \leq 80$ 时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；

(2)、现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足 $N (v) = 2 v^{2} - 10 v + 200$ $(80 \leq v \leq 120)$ ，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 2 ln x$ ， $a \in R .$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间 $;$

(2)、若函数 $f (x)$ 的两个极值点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > \frac{8}{a} - \frac{a}{2}$ ．

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v	0	10	40	60
M	0	1325	4400	7200