四川省乐山市草堂高级中学2024届高三上学期1月月考数学（文）试题

试卷更新日期：2024-09-06 类型：月考试卷

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一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合 $A = \{x |- 3 < x < 2\}, B = \{x |x^{2} + 4 x - 5 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(- 3, 1]$ C、 $[- 1, 2)$ D、 $(- 3, 2)$

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2. 复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i} + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 3), \vec{b} = (- 2, - 1)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、10 B、18 C、 $(- 7, 8)$ D、 $(- 4, 14)$

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4. 已知命题 $p : \exists x \in R, 2^{x} \geq 2 x + 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x \notin R, 2^{x} < 2 x + 1$ B、 $\exists x \in R, 2^{x} < 2 x + 1$ C、 $\forall x \notin R, 2^{x} < 2 x + 1$ D、 $\forall x \in R, 2^{x} < 2 x + 1$

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5. 甲、乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：
下列说法正确的是（）

A、甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小 B、甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小 C、甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小 D、甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大

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6. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $x$ 值为2023，则输出的 $y$ 值为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，若 $a_{1} + a_{5} + a_{9} = 9, b_{2} b_{5} b_{8} = 3 \sqrt{3}$ ，则 $\frac{a_{2} + a_{8}}{1 + b_{2} b_{8}} =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点 $A$ 在 $C$ 上，若 $|F_{1} A| = 2 |F_{2} A|$ ， $∠ A F_{1} F_{2} = 30 °, △ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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9. 若直线 $y = k x$ 与曲线 $y = ln x$ 相切，则 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{e^{2}}$ B、 $\frac{2}{e^{2}}$ C、 $\frac{1}{e}$ D、 $\frac{2}{e}$

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10. 函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象经过点 $(0, - \frac{1}{2})$ ，将该函数的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、3 D、 $\frac{7}{2}$

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列结论正确的是（）

A、 $A B_{1}$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成的角为 $60 °$ B、 $D B_{1}$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成的角为 $60 °$ C、 $A B_{1}$ 与 $A_{1} D$ 所成的角为 $45 °$ D、 $D B_{1}$ 与 $C_{1} D_{1}$ 所成的角为 $45 °$

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12. 已知 $O$ 为坐标原点， $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $A ， B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点． $P$ 为 $C$ 上一点，且 $P F_{2} ⊥ x$ 轴，直线 $A P$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，直线 $B M$ 与 $P F_{2}$ 交于点 $Q$ ，直线 $F_{1} Q$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ ．若 $| O N | = \frac{1}{4} | O M |$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知函数 $f (x) = (a - 1) x^{2} + a sin x$ 为偶函数，则实数 $a =$ .

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14. 已知实数 $x, y$ 满足 $\{\begin{matrix} y \leq 4 - x \\ y + 2 \geq 0 \\ y \leq x + 2 \end{matrix}$ ，则 $2 x + 3 y$ 的最大值为．

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15. 在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若 $A_{1} B_{1} = 2, A B = 4$ ，则该四棱台的高是.

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16. 《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积.则第十日所织尺数为？译为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积.问第10天织布尺数为.

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三、必考题：共60分.

17. 2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人，某市医院传染病科在该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人的情况，并将调查结果整理如下：

有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
60
80
140
感染支原体肺炎
40
20
60
合计
100
100
200

(1)、是否有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关？

(2)、现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，再从6人中随机抽出2人作为医学研究对象并免费治疗，求2个人中恰有1个人患有慢性疾病的概率．
附表：
$P (K^{2} ⩾ k)$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ ）

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18. 记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $A = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.从① $a = 2 \sqrt{3}$ ；② $b = 2$ 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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19. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为2的等比数列，公比 $q > 0$ ，且 $a_{4}$ 是 $6 a_{2}$ 和 $a_{3}$ 的等差中项．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{\log_{2} a_{n} \cdot \log_{2} a_{n + 1}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前2023项和 $T_{2023}$ ．

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20. 如图，在四棱锥 $C - A B D E$ 中， $D E ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B D = 4$ ， $D E = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = A D = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $A E / /$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若 $B C ⊥ C D$ ，且直线 $B C$ 与 $A E$ 所成角为 $30 °$ ，求点E到平面 $A B C$ 的距离．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{a}}$ ，其中 $x > 0$ ， $a > 0$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若方程 $\frac{f (x)}{e} = x - a \ln x$ 恰有两个不相等的实数根，求 $a$ 的取值范围．

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四、[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系xOy中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 t^{2} \\ y = 3 t \end{array}$ （ $t$ 为参数）．以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $2 ρ s i n (θ + \frac{π}{6}) = 3$ ．

(1)、求直线 $l$ 的直角坐标方程与曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、已知点 $P$ 的直角坐标为 $(- 3 ， 2 \sqrt{3})$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于A，B两点，求 $| P A | + | P B |$ 的值．

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五、[选修4-5：不等式选讲]

23. 设函数 $f (x) = | 2 x - 2 | + | x + 2 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq 5 - 2 x$ ；

(2)、令 $f (x)$ 的最小值为 $T$ ，正数 $a, b$ 满足 $a^{2} + b^{2} + 2 b = T$ ，证明： $a + b \leq 2 \sqrt{2} - 1$ ．

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	有慢性疾病	没有慢性疾病	合计
未感染支原体肺炎	60	80	140
感染支原体肺炎	40	20	60
合计	100	100	200

$P (K^{2} ⩾ k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828