广西示范性高中2023-2024学年高一下学期数学3月调研测试试卷

试卷更新日期：2024-03-15 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4} ， B = {x | x^{2} - 4 x + 3 \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${0 ， 1 ， 3 ， 4}$ D、 ${1 ， 4}$

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2. 在 $△ A B C$ 中， $" \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} "$ 是 $" A = \frac{π}{3} "$ 的( )

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = a^{2 x - 1} + 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $M$ ，则 $M$ 为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 2)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

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4. 命题“ $\forall x > 1 ， l o g_{3} x > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \leq 1 ， l o g_{3} x > 0$ B、 $\forall x > 1 ， l o g_{3} x \geq 0$ C、 $\exists x \leq 1 ， l o g_{3} x \leq 0$ D、 $\exists x > 1 ， l o g_{3} x \leq 0$

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5. 若函数 $f (x) = a x^{2} + (2 b + a) x - a + b$ 是定义在 $[2 a ， 2 - a]$ 上的偶函数，则 $a - b =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 4$ C、3 D、2

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6. 已知 $a = l o g_{2} 0.5 ， b = 3^{0.3} ， c = s i n 1$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $c < a < b$

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7. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + 3 b = 2$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{3 b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{4}{2^{x} + 2} + s i n π x$ ，则 $f (\frac{1}{1012}) + f (\frac{2}{1012}) + ⋯ + f (\frac{2023}{1012}) =$ （）

A、2020 B、2021 C、2022 D、2023

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 已知 $a ， b ， c ， d$ 是实数，则下列说法正确的是（）

A、 $a + \frac{1}{a} \geq 2$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a + c > b + d$ D、若 $a < b ， c < d$ ，则 $a c > b d$

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、直线 $x = \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、点 $(\frac{5 π}{6} ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， 0]$ 上单调递减

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{2} x | ， 0 < x \leq 2 \\ x^{2} - 6 x + 9 ， x > 2 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = k$ 有四个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < k \leq 1$ B、 $2 x_{1} + x_{2} \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $x_{1} x_{2} + x_{3} + x_{4} = 6$ D、 $x_{1} + 2 x_{2} > 3$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知函数 $f (x) = (m - 1) x^{m}$ 是幕函数，则 $f (2) =$ ．

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13. 已知扇形 $O A B$ 的圆心角为 $4 r a d$ ，其周长是 $6 c m$ ，则该扇形的面积是 $c m^{2}$ ．

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14. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R ， f (x + 1)$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b$ ．若 $f (0) + f (3) = 6$ ，则 $f (\frac{13}{3}) =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 化简，求值

(1)、 $(- 5)^{0} + 3^{- 2} \times 2 7^{\frac{1}{3}} + l o g_{2} 4$ ；

(2)、若 $α = \frac{π}{4}$ 求 $\frac{s i n (α - 2 π) c o s (\frac{π}{2} - α) t a n (3 π - α)}{c o s (π - α) s i n (\frac{5 π}{2} + α)}$ 的值．

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16. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = 2 x^{2} + 3 x$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2} ， 4]$ 上的最小值和最大值．

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17. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6}) - 1 ， x \in R$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、把 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， m]$ 上的最大值为3，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ 是定义在R上的偶函数．

(1)、求 $a$ 的值，并证明函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增；

(2)、求函数 $h (x) = f (x) + f (2 x) ， x \in [0 ， 1]$ 的值域．

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{m} \frac{x - 3}{x + 3} (0 < m < 1)$ ，

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、令 $g (x) = f (x - 3)$
①判断函数 $g (x)$ 在 $(6 ， + \infty)$ 上的单调性（不必说明理由）；
②是否存在 $6 < α < β$ ，使得函数 $g (x)$ 在区间 $[α ， β]$ 的值域为 $[l o g_{m} m β ， l o g_{m} m α]$ ？若存在，求出此时 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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