陕西省西安市重点中学2024届高三下学期模拟考试文科数学试题

试卷更新日期：2024-03-14 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 4 < 0} ， B = {x | - 3 < x < 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x | - 3 < x < 2}$ B、 ${x | - 2 < x < 2}$ C、 ${x | - 3 < x < - 2}$ D、 ${x | - 2 < x < 0}$

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2. 现有一组数据1，2，3，2，3，5，4，2，5，4，1，则这组数据的中位数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 设 $z$ 在复平面内对应的点为 $(1 ， - 2)$ ，则 $\frac{\bar{z}}{z + i}$ 在复平面内对应的点为（）

A、 $(- \frac{1}{4} ， \frac{3}{4})$ B、 $(\frac{1}{4} ， - \frac{3}{4})$ C、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ D、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{3}{2})$

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4. 若 $s i n 18 ° = m$ ，则 $s i n 63 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2} (\sqrt{1 - m^{2}} - m)$ B、 $\frac{1}{2} m + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - m^{2}}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2} (m + \sqrt{1 - m^{2}})$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} m + \frac{1}{2} \sqrt{1 - m^{2}}$

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5. 若球 $O_{1}$ 与球 $O_{2}$ 外切，两球的球心距 $O_{1} O_{2} = 7$ ，球 $O_{1}$ 的表面积为 $36 π$ ，则球 $O_{2}$ 的表面积为（）

A、 $48 π$ B、 $50 π$ C、 $56 π$ D、 $64 π$

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6. 若 $f (x) = | \frac{2^{2 x} - a}{2^{x + 1}} |$ 为偶函数，则 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $\pm 1$ C、1 D、0或1

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7. 若函数 $f (x) = s i n (x + φ) (- π < φ < 2 π)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，则 $φ$ 的值的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 吉林雾凇大桥，位于吉林市松花江上，连接雾凇高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾凇大桥是吉林市第一座自针式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为 $p$ 米）的一部分，左、右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为 $a$ 米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点 $A$ 到桥面的距离）为 $b$ 米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点 $B$ 到桥面的距离）为（）

A、 $\frac{98 a^{2} + p b}{p}$ 米 B、 $\frac{49 a^{2} + p b}{p}$ 米 C、 $\frac{169 a^{2} + p b}{p}$ 米 D、 $\frac{169 a^{2} + 2 p b}{2 p}$ 米

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9. “ $x > \frac{3}{2}$ ”是“ $x > l o g_{3} \sqrt{26}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 定义 $m i n {p ， q ， r}$ 表示 $p ， q ， r$ 中的最小值．已知实数 $a ， b ， c$ 满足 $a + b + c = 0 ， a b c = - 1$ ，则（）

A、 $m i n {a ， b ， c}$ 的最大值是 $- 1$ B、 $m i n {a ， b ， c}$ 的最大值是 $- \sqrt[3]{4}$ C、 $m i n {a ， b ， c}$ 的最小值是 $- 1$ D、 $m i n {a ， b ， c}$ 的最小值是 $- \sqrt[3]{4}$

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11. 生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（）

A、3月5日或3月16日 B、3月6日或3月15日 C、3月7日或3月14日 D、3月8日或3月13日

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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

12. 若两个单位向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $80 °$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为．

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13. 若等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $- 1$ ，公比为2，则 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ ．

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14. 若直线 $y = x + m$ 与曲线 $y = x^{4} + x^{2} - 5 x$ 相切，则切点的横坐标为．

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15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的右焦点为 $F_{2} ， P$ 为 $C$ 的右支上一点（异于顶点）， $O$ 为坐标原点，以线段 $P F_{2}$ 为直径作圆 $O_{1}$ ，线段 $O O_{1}$ 与圆 $O_{1}$ 相交于点 $M$ ，且 $| O M | = 3$ ，则 $C$ 的离心率为．

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三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

16. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 \sqrt{3} ， A C = 5 \sqrt{3} ， B C = 7 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、求 $△ A B C$ 外接圆的半径与内切圆的半径．

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17. 哈尔滨市，别称冰城，每年吸引大量游客前去旅游．某旅行社为了了解不同性别的人群去哈尔滨旅游的意愿，随机抽取了100名男性游客和100名女性游客，询问他们是否有意愿去哈尔滨旅游，得到如下的 $2 \times 2$ 列联表．

有意愿
没有意愿
合计
男性游客
40
60
100
女性游客
80
20
100
合计
120
80
200

(1)、判断是否有 $99.9 %$ 的把握认为有意愿去哈尔滨旅游与性别有关，并说明理由；

(2)、对于这200名游客，按性别用分层随机抽样的方法从有意愿去哈尔滨旅游的游客中抽取6人，将这6人随机分成3组，这3组的人数为4，1，1，求4人组中男女人数相等的概率．附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.05
0.01
0.005
0.001
$k_{0}$
3.841
6.635
7.879
10.828

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18. 如图， $P$ 是边长为2的正六边形 $A B C D E F$ 所在平面外一点， $B F$ 的中点 $O$ 为 $P$ 在平面 $A B C D E F$ 内的射影．

(1)、若 $P A = 2$ ，求 $P$ 到平面 $A B C D E F$ 的距离；

(2)、设 $M$ 为线段 $P F$ 上一点，且 $P M = 2 M F$ ，证明： $M E ∥$ 平面 $P B D$ ．

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0 ， n > 0 ， m \neq n)$ 的左、右顶点分别是 $A ， B$ ，点 $P (\frac{3}{2} ， 1)$ 在 $C$ 上，且 $△ P A B$ 的面积 $S = \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $B$ 作直线 $l$ 与 $C$ 交于另一点 $Q ， | B Q | = \frac{8 \sqrt{6}}{7}$ ，求直线 $l$ 的斜率．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - a - \frac{2 x}{e^{x}}$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} < 0$ ．

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21. [选修4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $M$ ，曲线 $N$ 的极坐标方程分别为 $ρ + \frac{1}{ρ} = 6 s i n θ ， ρ^{2} c o s 2 θ = 1$ ．

(1)、试问曲线 $M$ 与曲线 $N$ 分别是何种曲线？说明理由．

(2)、在直角坐标系 $x O y$ 中，求曲线 $M$ 与曲线 $N$ 的所有公共点的纵坐标之和．

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22. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数 $f (x) = | | x - 2 | - | x + 1 | |$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的值域；

(2)、求不等式 $f (x) \leq \frac{1}{2} x + 1$ 的解集．

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	有意愿	没有意愿	合计
男性游客	40	60	100
女性游客	80	20	100
合计	120	80	200

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.01	0.005	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	7.879	10.828