云南省玉溪重点中学2023-2024学年高二下学期数学开学试卷

试卷更新日期：2024-03-14 类型：开学考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知复数 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设 $a = 3^{0.8}$ ， $b = (\frac{1}{3})^{- 0.9}$ ， $c = {0.8}^{0.9}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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3. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 是偶函数的一个必要不充分条件为（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 2) = f (2)$ C、 $f (- x) = f (x)$ D、 $f (| x |) = f (x)$

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4. 若数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 72$ ，则 $3 a_{6} - a_{10} =$ （）

A、 $48$ B、 $50$ C、 $52$ D、 $54$

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ ，直线 $l$ 过其左焦点 $F_{1}$ ，交双曲线左支于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $| A B | = 4$ ， $F_{2}$ 为双曲线的右焦点， $△ A B F_{2}$ 的周长为 $20$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $8$ B、 $9$ C、 $16$ D、 $20$

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6. 若 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $- π < β < - \frac{π}{2}$ ， $c o s (\frac{π}{4} + α) = \frac{1}{3}$ ， $c o s (\frac{π}{4} - \frac{β}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s (α + \frac{β}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{5 \sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，有 $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2}) + a (a$ 为非零常数 $)$ ，则下列说法一定正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x) + a$ 为偶函数 D、 $f (x) + a$ 为奇函数

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8. 图 $1$ 为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径 $A B = 6$ ，深度 $M O = 2$ ，信号处理中心 $F$ 位于焦点处，以顶点 $O$ 为坐标原点，建立如图 $2$ 所示的平面直角坐标系 $x O y$ ，若 $P$ 是该抛物线上一点，点 $Q (\frac{15}{8} ， 2)$ ，则 $| P F | + | P Q |$ 的最小值为（）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $1$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下列说法正确的是（）

A、用简单随机抽样从含有 $50$ 个个体的总体中抽取一个容量为 $10$ 的样本，个体 $m$ 被抽到的概率是 $0.2$ B、已知一组数据 $1$ ， $2$ ， $m$ ， $6$ ， $7$ 的平均数为 $4$ ，则这组数据的方差是 $5$ C、数据 $27$ ， $12$ ， $14$ ， $30$ ， $15$ ， $17$ ， $19$ ， $23$ 的 $50 %$ 分位数是 $17$ D、若样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{10}$ 的标准差为 $8$ ，则数据 $2 x_{1} - 1$ ， $2 x_{2} - 1$ ， $\dots$ ， $2 x_{10} - 1$ 的标准差为 $16$

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10. 设数列 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列， $T_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项之积， $a_{2} = 27$ ， $a_{3} \cdot a_{6} \cdot a_{9} = \frac{1}{27}$ ，则当 $T_{n}$ 最大时， $n$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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11. 已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C$ ： $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 1 .$ 现给出如下结论，其中正确的是（）

A、圆 $O$ 与圆 $C$ 有四条公切线 B、过 $C$ 且与圆 $O$ 相切的直线方程为 $5 x - 12 y + 26 = 0$ C、过 $C$ 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 $x + y - 5 = 0$ 或 $3 x - 2 y = 0$ D、 $P$ 、 $Q$ 分别为圆 $O$ 和圆 $C$ 上的动点，则 $| P Q |$ 的最大值为 $\sqrt{13} + 3$

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12. 如图所示，三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = P C = 2$ ， $D$ 为线段 $A B$ 上的动点 $(D$ 不与 $A$ ， $B$ 重合 $)$ ，且 $A D = P D$ ，则（）

A、 $∠ D P C = 60 °$ B、 $P A ⊥ C D$ C、存在点 $D$ ，使得 $P A ⊥ B C$ D、三棱锥 $C - B D P$ 的体积有最大值 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知平面向量 $\vec{a} = (2，0) ， \vec{b} = (1 ， \sqrt{3})$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ ．

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14. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，直线 $l_{1}$ ： $(a - 1) x + y - 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + 2 b y + 1 = 0$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为．

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15. 圆锥母线长为 $1$ ，侧面展开图圆心角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则高等于．

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16. 已知椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0 ， n > 0)$ ，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 某校为了增强学生的安全意识，为学生进行了安全知识讲座，讲座后从全校学生中随机抽取了 $300$ 名学生进行笔试 $($ 试卷满分 $100$ 分 $)$ ，并记录下他们的成绩，将数据分成 $5$ 组： $[50，60)$ ， $[60，70)$ ， $[70，80)$ ， $[80，90)$ ， $[90，100]$ ，并整理得到如下频率分布直方图．

(1)、求这部分学生成绩的众数与平均数 $($ 同组数据用该组区间的中点值作代表 $)$ ；

(2)、为了更好的了解学生对安全知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第 $4$ 、 $5$ 组中用等比例分层抽样的方法抽取 $6$ 名学生，进行第二轮比赛，最终从这 $6$ 名学生中随机抽取 $2$ 人参加市安全知识竞赛，求 $90$ 分 $($ 包括 $90$ 分 $)$ 以上的同学恰有 $1$ 人被抽到的概率．

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18. 在 $① S_{n} = n^{2} + 2 n$ ； $② a_{2} = 5$ ， $a_{3} + a_{5} = 18$ ； $③ a_{1} = 3$ ， $S_{6} = 48$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
问题：已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 ▲ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2}{a_{n}^{2} - 1} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $c o s B = \frac{1}{3}$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上．

(1)、若 $∠ A D C = \frac{3}{4} π$ ，求 $A D$ 的长；

(2)、若 $B D = 3 D C$ ， $△ A C D$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，求 $\frac{s i n ∠ B A D}{s i n ∠ C A D}$ 的值．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $1$ 的菱形， $∠ B C D = 60 °$ ， $△ P A D$ 为等边三角形， $P B = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点， $F$ 为 $P C$ 上的一点，且 $\vec{P F} = \frac{1}{2} \vec{F C}$ ．

(1)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积；

(2)、求二面角 $P - B E - F$ 的大小．

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21. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，公比大于 $0 .$ 已知 $a_{1} = b_{1} = 3$ ， $b_{2} = a_{3}$ ， $b_{3} = 4 a_{2} + 3$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \{\begin{array}{l} 1 ， n 为奇数， \\ b_{\frac{n}{2} ，} n 为偶数． \end{array}$ 求 $a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + \dots + a_{2 n} c_{2 n} (n \in N^{*}) .$

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22. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且过点 $(1 ， \frac{3}{2})$ ．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、分别过椭圆的左、右焦点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交于 $P (x_{0} ， y_{0})$ ， $l_{1}$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点， $l_{2}$ 与椭圆交于 $C$ ， $D$ 两点．
①求证： $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} < 1$ ；
②求证： $\frac{1}{| A B |} + \frac{1}{| C D |}$ 定值．

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