福建省漳州市2024届高三毕业班第三次质量检测数学试题

试卷更新日期：2024-03-14 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x | \frac{1}{x - 1} < \frac{1}{2}} ， B = {x | x^{2} - 3 x - 4 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 3 < x < 4}$ B、 ${x | - 1 < x < 1 或 3 < x < 4}$ C、 ${x | - 4 < x < 1}$ D、 $\emptyset$

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2. $A_{6}^{3} + C_{10}^{8} =$ （）

A、65 B、160 C、165 D、210

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3. 若复数 $z = \frac{5 i}{3 - 4 i}$ ，则 $| i z - 2 \bar{z} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{29}}{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 已知 $c o s (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{6}$ ，则 $s i n (\frac{π}{3} - α) + s i n (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{10}{9}$ B、 $- \frac{4}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{6}{5}$

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5. 一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为 $28 π$ ，则它的表面积为（）

A、 $41 π$ B、 $42 π$ C、 $\frac{29 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $(18 + 7 \sqrt{3}) π$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 上一点，且 $B D = 2 D C ， E$ 是 $A C$ 的中点，记 $\vec{A C} = \vec{m} ， \vec{A D} = \vec{n}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{5}{3} \vec{n} - 3 \vec{m}$ B、 $\frac{7}{2} \vec{n} - 3 \vec{m}$ C、 $\frac{7}{2} \vec{m} - 3 \vec{n}$ D、 $\frac{5}{2} \vec{m} - 3 \vec{n}$

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7. 已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域均为 $R ， f (2 x + 1)$ 是奇函数，且 $f (x) + g (3 - x) = - 4 ， y = g (x)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称， $f (4) = 2$ ，则 $f (22) + g (24) =$ （）

A、4 B、8 C、 $- 4$ D、 $- 6$

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8. 将数列 ${3 n - 1}$ 与 ${2^{n}}$ 的公共项从小到大排列得到数列 ${a_{n}}$ ，则 $a_{20} =$ （）

A、 $2^{37}$ B、 $2^{38}$ C、 $2^{39}$ D、 $2^{40}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ 的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 中心对称 B、 $f (x)$ 在区间 $[3 π ， \frac{7 π}{2}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $[0 ， a]$ 上有4个零点，则实数 $a$ 的取值范围是 $[\frac{13 π}{12} ， \frac{17 π}{12}]$ D、将 $g (x) = 2 c o s 3 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，可以得到函数 $f (x)$ 的图象

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10. 点 $P$ 在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上， $F$ 为其焦点， $Q$ 是圆 $C ： (x - 3)^{2} + y^{2} = 1$ 上一点， $M (3 ， 2)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $| P Q |$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ B、 $△ P F M$ 周长的最小值为 $4 + 2 \sqrt{2}$ C、当 $∠ F M Q$ 最大时，直线 $M Q$ 的方程为 $x + y - 5 = 0$ D、过 $P$ 作圆 $C$ 的切线，切点分别为 $A ， B$ ，则当四边形 $P A C B$ 的面积最小时， $P$ 的横坐标是1

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11. 如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别是棱 $A_{1} B_{1} ， D D_{1}$ 的中点， $G$ 为底面 $A B C D$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、当 $G$ 为 $A D$ 的中点时， $E F ⊥ C G$ B、若 $G$ 在线段 $B D$ 上运动，三棱锥 $A - G E F$ 的体积为定值 C、存在点 $G$ ，使得平面 $E F G$ 截正方体所得的截面面积为 $12 \sqrt{3}$ D、当 $G$ 为 $A D$ 的中点时，三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的外接球表面积为 $\frac{236 π}{9}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 曲线 $y = (x^{2} - x) e^{x}$ 在 $(1 ， 0)$ 处的切线方程为．

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13. 点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 作斜率为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的直线与双曲线 $C$ 的左、右两支分别交于 $A ， B$ 两点，若 $△ F_{1} A B$ 为以 $A B$ 为底的等腰三角形，则 $C$ 的离心率为．

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14. 如图，某城市有一条公路从正西方向 $A O$ 通过路口 $O$ 后转向西北方向 $O B$ ，围绕道路 $O A ， O B$ 打造了一个半径为 $2 k m$ 的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道 $M N$ ，则 $M N$ 的最小值为 $k m$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D ， A B ∥ C D ， ∠ B A D = 45 ° ， P A = C D = 4 ， A B = \sqrt{2} A D = 2$ ．

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的余弦值．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足， $a_{1} + 2 a_{2} + \cdot \cdot \cdot + n a_{n} = \frac{n (n + 1) (4 n - 1)}{6}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若对任意 $n \in N^{*} ， m \geq \frac{a_{1}}{3^{1}} + \frac{a_{2}}{3^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{n}}{3^{n}}$ ，求 $m$ 的最小整数值．

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17. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - l n x - x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 0$ 时，试判断函数 $F (x) = 2 s i n x - f (x) - 2 x$ 的零点个数，并给出证明．

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > \dot{b} > 0)$ 的右焦点为 $F ， T (- 1 ， \frac{3}{2})$ 是 $C$ 上的点，直线 $T F$ 的斜率为 $- \frac{3}{4}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 作两条相互垂直的直线分别交 $C$ 于 $M ， N$ 两点和 $P ， Q$ 两点， $M N ， P Q$ 的中点分别记为 $A ， B$ ，且 $T H ⊥ A B ， H$ 为垂足．试判断是否存在点 $K$ ，使得 $| K H |$ 为定值？若存在，请求出点 $K$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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19. “绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚．甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙每天选择“共享单车”的概率为 $\frac{2}{3}$ ，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为 $\frac{3}{4}$ ，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为 $\frac{1}{4}$ ，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为 $\frac{1}{3}$ ，如此往复．

(1)、若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；

(2)、记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望；

(3)、求丙在3月份第 $n (n = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 31)$ 天选择“共享单车”的概率 $P_{n}$ ，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数．

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