吉林省长春市力旺实验中学2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试卷

试卷更新日期：2023-09-22 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若 $a > b$ ，下列不等式不一定成立的是（）

A、 $2 + a > 2 + b$ B、 $2 - a > 2 - b$ C、 $2 a > 2 b$ D、 $\frac{a}{2} > \frac{b}{2}$

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3. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 \leq 0 \\ \frac{3 - x}{2} > 2 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（　　）

A、2 B、3 C、5 D、8

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5. 下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是（　　）

A、正六边形 B、正五边形 C、正方形 D、正三角形

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6. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 中，点 $A$ 、 $E$ 、 $B$ 、 $D$ 在同一条直线上， $A C / / D F$ ， $A C = D F$ ，只添加一个条件，不能判断 $△ A B C$ ≌ $△ D E F$ 的是（）

A、 $A E = D B$ B、 $∠ C = ∠ F$ C、 $B C = E F$ D、 $∠ A B C = ∠ D E F$

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7. 如图，将 $△ A O B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $45 °$ 后得到 $△ D O E$ ，若 $A O B = 15 °$ ，则 $∠ A O E$ 的度数是（）

A、 $25 °$ B、 $30 °$ C、 $35 °$ D、 $40 °$

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8. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{x}{3} - k = \frac{x - k}{2} + 1$ 的解是非负数，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < - 2$ B、 $k \leq - 2$ C、 $k > 2$ D、 $k \geq - 2$

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二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 当 $x =$ 时，代数式 $4 x + 2$ 与 $3 x - 9$ 的值互为相反数．

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10. 命题“若 $a x^{2} > b x^{2}$ ，则 $a > b$ ”是命题.（填“真”或“假”）

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11. 如图， $∠ A + ∠ 1 = 40 °$ ， $C D ⊥ A E$ ，则 $∠ 2$ 的度数为．

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12. 如图， $B$ 、 $C$ 、 $E$ 在同一直线上， $△ A B C$ ≌ $△ E F C$ ， $∠ A = 35 °$ ，那么 $∠ E F C =$ 度.

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13. 如图，小陈从 $O$ 点出发，前进 $5$ 米后向右转 $20 °$ ，再前进 $5$ 米后又向右转 $20 °$ ， $\dots$ ，这样一直走下去，他第一次回到出发点 $O$ 时一共走了米．

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14. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 70 °$ ， $A C$ 边上有一点 $D$ ，使得 $∠ A = ∠ A B D$ ，将 $△ A B C$ 沿 $B D$ 翻折得 $△ A' B D$ ，此时 $A' D / / B C$ ，则 $∠ A B C =$ 度.

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三、解答题（本大题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 解下列方程、不等式．

(1)、 $\frac{x - 1}{2} - \frac{2 x + 3}{3} = 1$ ；

(2)、 $4 x + 5 \geq x - 4$ ．

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16. 解下列方程组、不等式组．

(1)、 ${\begin{array}{l} 2 x - y = - 1 \\ x + 3 y = 17 \end{array}$ ；

(2)、 ${\begin{array}{l} x - 3 x - 2 \geq 4 \\ \frac{1 + 2 x}{3} > x - 1 \end{array}$ ．

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17. 我国古代数学名著 $《$ 九章算术 $》$ 中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四 $.$ 问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出 $8$ 钱，则多了 $3$ 钱；如果每人出 $7$ 钱，则少了 $4$ 钱 $.$ 问有多少人，物品的价值是多少？请你解决此问题．

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18. 已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 5 y = 2 \\ 5 x + 2 y = - 12 \end{array}$ 的解满足 $x - y = m - 1$ ，求 $m$ 的值．

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19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 $1$ 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上， $O$ ， $M$ 也在格点上．

(1)、画出 $△ A B C$ 先向右平移 $5$ 个单位长度，再向下平移 $5$ 个单位长度得到的 $△ A' B' C'$ ；

(2)、画出 $△ A B C$ 关于直线 $O M$ 对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、画出 $△ A B C$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ 后所得的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(4)、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 组成的图形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出对称轴．

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20. 将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 的方向平移得到 $△DEF$ ．

(1)、若 $∠ B = 74 °$ ， $∠ F = 26 °$ ，求 $∠ A$ 的度数；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $12$ ， $B F = 5.5 c m$ ， $E C = 3.5 c m$ ，连结 $A D$ ，则四边形 $A B F D$ 的周长为 $c m$ ．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 延长线上一点，满足 $C D = B A$ ，过点 $C$ 作 $C E / / A B$ ，且 $C E = B C$ ，连接 $D E$ 并延长，分别交 $A C$ ， $A B$ 于点 $F$ ， $G$ ．

(1)、求证： $△ A B C$ ≌ $△ D C E$ ；

(2)、若 $B D = 12$ ， $A B = 2 C E$ ，求 $B C$ 的长度．

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22. 高安腐竹始于唐代，距今已有 $1000$ 多年的历史 $.$ “五一”期间，高安市对 $A$ 、 $B$ 两种品牌的腐竹举行展销活动 $.$ 若购买 $20$ 箱 $A$ 品牌腐竹和 $30$ 箱 $B$ 品牌腐竹共需要 $4400$ 元，购买 $10$ 箱 $A$ 品牌腐竹和 $40$ 箱 $B$ 品牌腐竹则需要 $4200$ 元．

(1)、求 $A$ 、 $B$ 品牌腐竹每箱售价各为多少元？

(2)、小王计划购买 $A$ 、 $B$ 两种品牌腐竹共 $100$ 箱，预算总费用不超过 $9200$ 元，则 $A$ 品牌腐竹最多能购买多少箱？

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23. 综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图 $1$ ， $△ A B C$ 中， $A B = 7$ ， $A C = 5$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，求 $A D$ 的取值范围 $.$ 小明的做法是：如图 $2$ ，延长 $A D$ 到 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ，构造 $△ B E D$ ≌ $△ C A D$ ，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：

(1)、小明证明 $△ B E D$ ≌ $△ C A D$ 用到的判定定理是：____

A、 $S A S$ B、 $S S S$ C、 $A A S$ D、 $A S A$

(2)、 $A D$ 的取值范围是 $______$ ．

(3)、小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在正方形 $A B C D ($ 各角都为直角 $)$ 中， $E$ 为 $A B$ 边的中点， $G$ 、 $F$ 分别为 $B C$ 边上的点，若 $A G = 2$ ， $B F = 3$ ， $∠ G E F = 90 °$ ，求 $G F$ 的长．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 8$ ， $A C = 6$ ， $A B = 10$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿 $A \to C \to B$ 运动到点 $B$ 停止，同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发，以每秒 $1$ 个单位长度的速度沿 $B \to C$ 运动，到点 $C$ 停止，若设点 $P$ 运动的时间是 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．

(1)、点 $P$ 到达点 $C$ 时， $t =$ ；到 $B$ 时， $t =$ 秒；

(2)、当 $C P = B Q$ 时，求 $t$ 的值；

(3)、当点 $P$ 在边 $B C$ 上时；
①当 $△ A P Q$ 的面积等于 $12$ 时，直接写出 $t$ 的值．

②当点 $P$ 或点 $Q$ 到边 $A C$ 和边 $A B$ 的距离相等时，直接写出 $t$ 的值．

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