2023年高考数学真题分类汇编7：立体几何

试卷更新日期：2023-07-18 类型：二轮复习

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一、填空题

1. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为CD， $A_{1} B_{1}$ 的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为．

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2. 已知点 $S ， A ， B ， C$ 均在半径为2的球面上， $△ A B C$ 是边长为3的等边三角形， $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ，则 $S A =$ ．

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3. 空间内存在三点 $A 、 B 、 C$ ，满足 $A B = A C = B C = 1$ ，在空间内取不同两点(不计顺序)，使得这两点与 $A 、 B 、 C$ 可以组成正四棱锥，求方案数为；

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4. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 .

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5. 在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 ， A_{1} B_{1} = 1 ， A A_{1} = \sqrt{2}$ ，则该棱台的体积为.

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二、选择题

6. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $P A = P B = 2 ， P C = \sqrt{6}$ ，则该棱锥的体积为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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7. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A B = 4 ， P C = P D = 3 ， ∠ P C A = 45 °$ ，则 $△ P B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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8. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，线段 $P C$ 上的点 $M$ 满足 $P M = \frac{1}{3} P C$ ，线段 $P B$ 上的点 $N$ 满足 $P N = \frac{2}{3} P B$ ，则三棱锥 $P - A M N$ 和三棱锥 $P - A B C$ 的体积之比为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{4}{9}$

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9. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）

A、24 B、26 C、28 D、30

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10. 已知 $△ A B C$ 为等腰直角三角形，AB为斜边， $△ A B D$ 为等边三角形，若二面角 $C - A B - D$ 为 $150 °$ ，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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11. 已知圆锥PO的底面半径为 $\sqrt{3}$ ， O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线， $∠ A O B = 120 °$ ，若 $△ P A B$ 的面积等于 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{6} π$ C、 $3 π$ D、 $3 \sqrt{6} π$

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12. 如图，网格纸上绘制的是个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积（）

A、24 B、26 C、28 D、30

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13. 已知圆锥的顶点为 $P$ ，底面圆心为 $O$ ， $A ， B$ 为底面直径， $∠ A P B = 120 °$ ， $P A = 2$ ，点 $C$ 在底面圆周上，且二面角 $P - A C - O$ 为45°，则（）

A、该圆锥的体积为 $π$ B、该圆锥的侧面积为 $4 \sqrt{3} π$ C、 $A C = 2 \sqrt{2}$ D、 $△ P A C$ 的面积为 $\sqrt{3}$

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14. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有（）

A、直径为0.99m的球体 B、所有棱长均为1.4m的四面体 C、底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体 D、底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体

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三、解答题

15. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A_{1} C ⊥$ 底面ABC， $∠ A C B = 90 °$ ， $A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为1．

(1)、求证： $A C = A_{1} C$ ；

(2)、若直线 $A A_{1}$ 与 $B B_{1}$ 距离为2，求 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

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16. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C ， ∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、证明：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、设 $A B = A_{1} B ， A A_{1} = 2$ ，求四棱锥 $A_{1} - B B_{1} C_{1} C$ 的高．

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17. 三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A_{1} A ⊥$ 面 $A B C ， A B ⊥ A C ， A B = A C = A A_{1} = 2 ， A_{1} C_{1} = 1$ ， $M ， N$ 分别是 $B C ， B A$ 中点.

(1)、求证： $A_{1} N$ //平面 $C_{1} M A$ ；

(2)、求平面 $C_{1} M A$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成夹角的余弦值；

(3)、求点 $C$ 到平面 $C_{1} M A$ 的距离．

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P B = P C = \sqrt{6}$ ， BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， $A D = \sqrt{5} D O$ ，点F在AC上， $B F ⊥ A O$ .

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A D O$ ；

(2)、证明：平面 $A D O ⊥$ 平面BEF；

(3)、求二面角 $D - A O - C$ 的正弦值.

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P B = P C = \sqrt{6}$ ， $B P ， A P ， B C$ 的中点分别为 $D ， E ， O$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上， $B F ⊥ A O$ ．

(1)、求证： $E F$ //平面 $A D O$ ；

(2)、若 $∠ P O F = 120 °$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积。

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20. 已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} ， A B ∥ D C ， A B ⊥ A D ， A B = 2 ， A D = 3 ， D C = 4$ .

(1)、求证： $A_{1} B ∥$ 面 $D C C_{1} D_{1}$ ；

(2)、若直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为36，求二面角 $A_{1} - B D - A$ 的大小.

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21. 如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $D A = D B = D C ， B D ⊥ C D ， ∠ A D B = ∠ A D C =$ 60°，E为BC中点.

(1)、证明： $B C ⊥ D A$

(2)、点F满足 $\vec{E F} = \vec{D A}$ ，求二面角D-AB-F的正弦值.

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22. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 ， A A_{1} = 4$ . 点 $A_{2} ， B_{2} ， C_{2} ， D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1} ， B B_{1} ， C C_{1} ， D D_{1}$ 上， $A A_{2} = 1$ ， $B B_{2} = D D_{2} = 2 ， C C_{2} = 3$ .

(1)、证明： $B_{2} C_{2} / / A_{2} D_{2}$ ；

(2)、点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，当二面角 $P - A_{2} C_{2} - D_{2}$ 为 $15 0^{°}$ 时，求 $B_{2} P$ .

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