云南省曲靖市2023届高三数学第一次教学质量监测试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 4}$ ， $B = {x | y = \sqrt{\frac{x}{3 - x}}}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、（－2，2） B、[0，3） C、（－2，3） D、（－2，3]

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2. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数 $z = (2 + a i) i$ （其中 $a \in R$ ）为“等部复数”，则复数 $\bar{z} - 2 a i$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在扇形COD中 $∠ C O D = \frac{2 π}{3}$ ， $O C = O D = 2$ ．设向量 $\vec{m} = 2 \vec{O C} + \vec{O D}$ ， $\vec{n} = \vec{O C} + 2 \vec{O D}$ ，则 $\vec{m} \cdot \vec{n} =$ （）

A、－4 B、4 C、－6 D、6

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4. 如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m，底面直径和球的直径都是0.6m，现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（）克（精确到个位数）

A、176 B、207 C、239 D、270

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5. 已知奇函数 $f (x) = 2 c o s (ω x - φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 图像的相邻两个对称中心间的距离为2π，将 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得函数 $g (x)$ 的图像，则 $g (x)$ 的图像（）

A、关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称 B、关于点 $(- \frac{5 π}{3} ， 0)$ 对称 C、关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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6. 若 $a ， b \in {1 ， 2 ， 3}$ ，则在“函数 $f (x) = l n (x^{2} + a x + b)$ 的定义域为 $R$ ”的条件下，“函数 $g (x) = a^{x} - b^{- x}$ 为奇函数”的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 已知 ${(1 - x)}^{4} {(1 + 2 x)}^{5} + {(1 + 2023 x)}^{2022} + {(1 - 2022 x)}^{2023}$ 展开式中x的系数为q，空间有q个点，其中任何四点不共面，这q个点可以确定的直线条数为m，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p，则 $m + n + p =$ （）

A、2022 B、2023 C、40 D、50

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8. 已知 $a = e - 2$ ， $b = 1 - l n 2$ ， $c = e^{e} - e^{2}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $a > b > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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二、多选题

9. 已知双曲线C过点 $(3 ， \sqrt{2})$ 且渐近线方程为 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、C的方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、C的离心率为 $\sqrt{3}$ C、曲线 $y = e^{x - 2} - 1$ 经过C的一个焦点 D、C的焦点到渐近线的距离为1

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10. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + b = 4$ 则下列结论一定正确的有（）

A、 ${(a + 2 b)}^{2} \geq 8 a b$ B、 $\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} \geq 2 \sqrt{a b}$ C、ab有最大值4 D、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 有最小值9

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x ， 0 \leq x \leq 2 \\ s i n \frac{π}{2} x ， 2 < x \leq 4 \end{array}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (\frac{5}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、函数图象关于直线 $x = 1$ 对称 C、函数的值域为 $[- 1 ， 0]$ D、若函数 $y = f (x) - m$ 有四个零点，则实数 $m$ 的取值范围是 $(- 1 ， 0]$

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12. 在棱长为1的正方体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} － A B C D$ 中， $M$ 为底面 $A B C D$ 的中心， $Q$ 是棱 $A_{1} D_{1}$ 上一点，且 $\vec{D_{1} Q} = λ \vec{D_{1} A_{1}}$ ， $λ \in [0 ， 1]$ ， $N$ 为线段 $A Q$ 的中点，给出下列命题，其中正确的是（）

A、 $C N$ 与 $Q M$ 共面； B、三棱锥 $A - D M N$ 的体积跟 $λ$ 的取值无关； C、当 $λ = \frac{1}{4}$ 时， $A M ⊥ Q M$ ； D、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，过 $A$ ， $Q$ ， $M$ 三点的平面截正方体所得截面的周长为 $\frac{4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{13}}{3}$ ．

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三、填空题

13. 已知函数 $y = 2 l n (x + 1) + s i n x$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线的倾斜角为α，则 $c o s α =$ ．

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14. 已知随机变量 $X ∼ B (2 ， p)$ ，若 $P (X \geq 1) = \frac{7}{16}$ ，则p＝．

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15. 已知直线 $x + y - \sqrt{3} a = 0$ 与圆C： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2 a^{2} - 2 a + 1$ 相交于点A，B，若 $△ A B C$ 是正三角形，则实数 $a =$

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16. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $A$ ， $B$ 是椭圆 $C$ 与抛物线 $P ： y = - \frac{x^{2}}{a} + a$ 的公共点， $A$ ， $B$ 关于 $y$ 轴对称且 $A$ 位于 $y$ 轴右侧， $| A B | ≤ 2 | A F_{2} |$ ，则椭圆 $C$ 的离心率的最大值为．

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四、解答题

17. 在① $q = d$ ， ② $q \cdot d = 4$ 这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后求解．
设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d (d \in N^{*})$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的公比为q．已知 $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{2} = 2$ ， ____． $S_{10} = 100$ （说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）

(1)、请写出你的选择，并求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，设 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < 6$ ．

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18. 在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c， $b = 2 \sqrt{3}$ ， $s i n^{2} A + s i n^{2} C + s i n A s i n C = s i n^{2} B$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、当△ABC面积最大时，求∠BAC的平分线AD的长．

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19. 某地A，B，C，D四个商场均销售同一型号的冰箱，经统计，2022年10月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如下表（单位：十台）：

A商场
B商场
C商场
D商场
购讲该型冰箱数x
3
4
5
6
销售该型冰箱数y
2.5
3
4
4.5
参考公式：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、假设每台冰箱的售价均定为4000元．若进入A商场的甲、乙两位顾客购买这种冰箱的概率分别为p， $2 p - 1 (\frac{1}{2} < p < 1)$ ，且甲乙是否购买冰箱互不影响，若两人购买冰箱总金额的期望不超过6000元，求p的取值范围．

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20. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形， $P A = A D = 2$ ， $A B = 4$ ， M，N分别是线段AB，PC的中点．

(1)、求证：MN $/ /$ 平面PAD；

(2)、在线段CD上是否存在一点Q，使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ？若存在，求出 $\frac{C Q}{C D}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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21. 如图，已知 $F (1 ， 0)$ ，直线l： $x = - 1$ ， P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且 $\vec{Q P} \cdot \vec{Q F} = \vec{F P} \cdot \vec{F Q}$ ．

(1)、求动点P的轨迹C的方程；

(2)、过点F的直线与轨迹C交于A，B两点，与直线l交于点M，设 $\vec{M A} = λ_{1} \vec{A F}$ ， $\vec{M B} = λ_{2} \vec{B F}$ ，证明 $λ_{1} + λ_{2}$ 定值，并求 $| λ_{1} λ_{2} |$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + a x^{2} + 1$ 的图像与直线l： $x + b y + c = 0$ 相切于点 $T (1 ， f (1))$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的图像在点 $M (0 ， f (0))$ 处的切线在x轴上的截距；

(2)、求c与a的函数关系 $c = g (a)$ ；

(3)、当a为函数g（a）的零点时，若对任意 $x \in [- 1 ， 2]$ ，不等式 $f (x) - k x \geq 0$ 恒成立．求实数k的最值．

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	A商场	B商场	C商场	D商场
购讲该型冰箱数x	3	4	5	6
销售该型冰箱数y	2.5	3	4	4.5