2022年浙教版数学八下复习阶梯训练：反比例函数（优生集训）1

试卷更新日期：2022-04-22 类型：复习试卷

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一、综合题

1. 如图所示，点A，B分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴上，点 $D$ 在第一象限内， $D C ⊥ x$ 轴于点 $C ， A O = C D = 2 ， A B = D A =$ $\sqrt{5}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象过CD的中点 $E$ .

(1)、求证： $△ A O B ≅ △ D C A$ ；

(2)、求 $k$ 的值；

(3)、 $△ B F G$ 和 $△ D C A$ 关于某点成中心对称，点 $F$ 在 $y$ 轴上，试判断点 $G$ 是否在反比例函数的图象上，并说明理由.

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2. 如图所示，点 $A$ 是反比例函数 $y_{1} = \frac{2}{x} (x > 0)$ 图象上的任意一点，过点 $A$ 作 $A B / / x$ 轴，交另一个反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k < 0 ， x < 0)$ 的图象于点 $B$ .

(1)、若 $S_{△ A O B} = 3$ ，则 $k =$ ；

(2)、当 $k = - 8$ 时，若点 $A$ 的横坐标是1，求 $∠ A O B$ 的度数；

(3)、若无论点 $A$ 在何处，反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k < 0 ， x < 0)$ 图象上总存在一点 $D$ ，使得四边形AOBD为平行四边形，求 $k$ 的值.

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3. 如图，一次函数 $y = x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k为常数， $k \neq 0$ ）的图象在第一象限内交于点 $A (1 ， 2)$ ，且与x轴、y轴分别交于 $B ， C$ 两点．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、点P在x轴上，且 $Δ B C P$ 的面积等于2，求点P的坐标．

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4. 如图，在平面直角坐标系中，有大正方形AOBC与小正方形CDEF，其中点A落在y轴上，点B落在x轴上，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0 ， k > 0)$ 的图象经过点E，则称满足条件的k值为两正方形的和谐值.已知反比例函数图象与AF交于点G，请解答下列各题.

(1)、概念理解若图中大正方形的边长为2，小正方形的边长为1，求这两个正方形的和谐值.

(2)、性质探究记图中两正方形面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $(S_{1} > S_{2})$ ，求证：两个正方形的和谐值 $k = S_{1} - S_{2}$ .

(3)、性质应用若图中大正方形的边长为6，点G恰好是AC的三等分点，求小正方形的边长.

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5. 已知反比例函数 $y_{1} = \frac{m}{x} (m > 0 ， x > 0)$ 和 $y_{2} = - \frac{m}{2 x} (x < 0)$ ，过点P（0，1）作x轴的平行线l与函数 $y_{1} ， y_{2}$ 的图象相交于点B，C.

(1)、如图1，若 $m = 6$ 时，求点B，C的坐标；

(2)、如图2，一次函数 $y_{3} = k x - \frac{m}{2}$ 交l于点D．
①若k＝5，B、C、D三点恰好满足其中一点为另外两点连线的中点，求m的值；

②过点B作y轴的平行线与函数y₃的图象相交于点E．当m值取不大于 $\frac{2}{3}$ 的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．

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6. 有这样一个问题：探究函数

y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x}

的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数

y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x}

的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：

(1)、函数

y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x}

的自变量x的取值范围是；

(2)、下表是y与x的几组对应值．m的值为；

x	-2	$- \frac{3}{2}$	-1	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	…
y	0	$- \frac{\sqrt{2}}{3}$	m	$- \sqrt{6}$	$\sqrt{21}$	$\sqrt{10}$	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{5}}{3}$	$\frac{\sqrt{6}}{4}$	…

(3)、如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；

(4)、结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．

(5)、结合函数图象估计

\frac{\sqrt{x + 2}}{x} - x - 4 = 0

的解的个数为个．

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7. 已知点A，B在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ (x>0)的图象上，它们的横坐标分别为m，n，且m≠n，过点A，点B都向x轴，y轴作垂线段，其中两条垂线段的交点为C．

(1)、如图，当m=2，n=6时，直接写出点C的坐标：

(2)、若A(m，n)，B(n，m)．连接OA、OB、AB，求△AOB的面积：(用含m的代数式表示)

(3)、设AD⊥y轴于点D，BE⊥x轴于点E．若 $p = 1 - \frac{m}{n^{2}}$ ，且 $1 \leq n \leq 4$ ，则当点C在直线DE上时，求p的取值范围．

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8. 在平面直角坐标系xOy中，函数 $y = \frac{2}{x}$ (x>0)的图象与直线l₁： $y = \frac{1}{3} x + k (k > 0)$ 交于点A，与直线l₂：x=k交于点B.直线l₁与l₂交于点C.

(1)、当点A的横坐标为1时，则此时k的值为；

(2)、横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 记函数 $y = \frac{2}{x}$ (x>0) 的图像在点A、B之间的部分与线段AC，BC围成的区域(不含边界)为W.
①当k=3时，结合函数图象，则区域W内的整点个数是；

②若区域W内恰有1个整点，结合函数图象，直接写出k的取值范围：.

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9. 如图，已知线段AB，A（2，1），B（4，3），现将线段AB沿y轴方向向下平移得到线段MN，直线y＝mx＋b过M、N两点，且M、N两点恰好也落在双曲线y= $\frac{k}{x}$ 的一条分支上，

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式.

(2)、直接写出不等式mx+b－ $\frac{k}{x}$ ≥0的解集

(3)、若点C（x₁ ， a），D（x₂ ， a－1）在双曲线y= $\frac{k}{x}$ 上，试比较x₁和x₂的大小.

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10. 在平面直角坐标系中，点A，B，C是x轴的正半轴上从左向右依次排列的三点，过点A，B，C分别作与 $y$ 轴平行的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ .

(1)、如图1，若直线 $y = k x + b$ 与直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 分别交于点D，E，F三点，设D（ $x_{1}$ ， $y_{1}$ ），E（ $x_{2}$ ， $y_{2}$ ），F（ $x_{3}$ ， $y_{3}$ ）.
①若 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ ， $x_{3} = 3$ ，则 $y_{1} + y_{3}$ $2 y_{2}$ （填“=”，“>”或“<”）；

②若 $y_{1} = m + 2$ ， $y_{2} = m$ ， $y_{3} = m - 2$ （ $m > 2$ ），求证：AB=BC；

(2)、如图2，点A，B，C的横坐标分别为 $n - 1$ ，n， $n + 1$ （ $n > 1$ ），直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ）的图像分别交于点D，E，F，根据以上探究的经验，探索
$\frac{k}{n - 1} + \frac{k}{n + 1}$ 与 $\frac{2 k}{n}$ 之间的大小关系，并说明理由.

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11. 已知一次函数 $y_{1} = kx + n （ n < 0 ）$ 和反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} （ m > 0 ， x > 0 ）$ .

(1)、如图1，若 $n = - 2$ ，且函数 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的图象都经过点 $A （ 3 ， 4 ）$ .求m，k的值；

(2)、如图2，过点 $P （ 1 ， 0 ）$ 作y轴的平行线l与函数 $y_{2}$ 的图象相交于点B，与反比例函数 $y_{3} = \frac{n}{x} （ x > 0 ）$ 的图象相交于点C.
$①$ 若 $k = 2$ ，直线l与函数 $y_{1}$ 的图象相交点 $D ．$ 当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求 $m - n$ 的值；

$②$ 过点B作x轴的平行线与函数 $y_{1}$ 的图象相交与点 $E ．$ 当 $m - n$ 的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值.求此时k的值及定值d.

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12. 在平面直角坐标系xOy中，点A、B为反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图像上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图像绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为A’，B点的对应点为B’.

(1)、点A’的坐标是，点B’的坐标是；

(2)、在x轴上取一点P，使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标. 此时在反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图像上是否存在一点Q，使△A’B’Q的面积与△PAB的面积相等，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、连接AB’，动点M从A点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动.当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.设运动的时间为t秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t值.若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.

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13. 已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于点A，与x轴交于点 $B (5 ， 0)$ ，若 $O B = A B$ ， $S_{△ O A B} = \frac{15}{2}$ .

(1)、求反比例函数的解析式：

(2)、若点P为x轴上一动点，当 $△ A B P$ 是等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

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14. 如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （x＞0)的图像在第一象限交于A、B两点，点B坐标为(4，2)，连接OA、OB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于点C，且OC=CA.

(1)、求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)、根据图像直接说出不等式ax+b- $\frac{k}{x}$ ＜0的解集为；

(3)、求△ABC的面积.

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15. 阅读理解：已知：对于实数a≥0，b≥0，满足a+b≥2 $\sqrt{ab}$ ，当且仅当a = b时，等号成立，此时取得代数式a+b的最小值.
根据以上结论，解决以下问题：

(1)、拓展：若a>0，当且仅当a=时，a+ $\frac{1}{a}$ 有最小值，最小值为；

(2)、应用：
①如图1，已知点P为双曲线y= $\frac{4}{x}$ (x>0)上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB丄y轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值：

②如图2，已知点Q是双曲线y= $\frac{8}{x}$ (x>0)上一点，且PQ∥x轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内取一点C，使得以0、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标.

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16. 如图，已知一次函数y=mx+n的图像与x轴交于点B，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ (k﹥0)的图像交于点C，过点C作CH⊥x轴，点D是反比例函数图象上的一点，直线CD与x轴交于点A，若∠HCB=∠HCA，且BC=10，BA=16.

(1)、若OA=11，求k的值；

(2)、沿着x轴向右平移直线BC，若直线经过H点时恰好又经过点D，求一次函数函数y=mx+n的表达式.

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17. 如图，若A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝ $\frac{m}{x}$ 的图象的两个交点．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；

(3)、观察图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值x取值范围．

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18. 如图，直线 $y = k x + 2 k (k \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点B，与双曲线 $y = \frac{4}{x}$ 交于点A，C，其中点A在第一象限，点C在第三象限.

(1)、求B点的坐标.

(2)、若 $S_{△ A O B} = 2$ ，求A点的坐标.

(3)、在 (2)的条件下，在坐标轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形?若存在，有几个符合条件的点P?

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19. 如图，A ，B两点在函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象上.

(1)、求 $m$ 的值及直线AB对应的函数关系式.

(2)、如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数.

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20. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $A (m ， 6) ， B (3 ， n)$ 两点.

(1)、求一次函数的关系式.

(2)、根据图象直接写出 $k x + b - \frac{6}{x} < 0$ 的 $x$ 的取值范围.

(3)、求 $△$ AOB的面积.

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21. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中（如图），点 $A (- 4 ， 1)$ 为直线 $y = k x$ 和双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 的一个交点，

(1)、求k、m的值；

(2)、若点 $B (- 5 ， 0)$ ，在直线y=kx上有一点 $P$ ，使得 $S_{Δ A B P} = 2 S_{Δ A B O}$ ，请求出点 $P$ 的坐标；

(3)、在双曲线是否存在点 $M$ ，使得 $∠ A O M = 45^{°}$ ，若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在请说明理由。

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22. 如图，正方形OAPB、ADFE的顶点A、D．B在坐标轴上，点B在AP上，点P、F在函数 $y ＝ \frac{k}{x}$ 上，已知正方形OAPB的面积是9.

(1)、求k的值和直线OP的解析式；

(2)、求正方形ADFE的边长

(3)、函数 $y ＝ \frac{k}{x}$ 在第三象限的图像上是否存在一点Q，使得△ABQ的面积为10.5？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由.

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23. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限内，BC在x轴的正半轴上(B在C的右侧)，AB= $\sqrt{3}$ ，∠ACB=30°，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，且函数y= $\frac{k}{x}$ (k>0)的图象过点D．

(1)、当OC=2时，求k的值；

(2)、如图2，若点A和点D在同一个反比例函数图象上，求OC的长；

(3)、在(2)的条件下，点D与点E关于原点成中心对称，x轴上有一点F，平面内有一点G，若D、E、F、G四点构成的四边形是矩形，求F点的坐标．

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24. 小明在学习反比例函数后，为研究新函数 $y = \frac{1 + x}{x}$ ，先将函数变形为 $y = \frac{1}{x} + 1$ ，画图发现函数 $y = \frac{1 + x}{x}$ 的图象可以由函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象向上平移1个单位得到.

(1)、根据小明的发现，请你写出函数 $y = \frac{5 - x}{x}$ 的图象可以由反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 的图象经过怎样的平移得到；

(2)、在平面直角坐标系中，已知反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ (x＞0)的图象如图所示，请在此坐标系中画出函数 $y = \frac{5 - x}{x}$ (x＞0)的图象；

(3)、若直线y=－x＋b与函数 $y = \frac{5 - x}{x}$ (x＞0)的图象没有交点，求b的取值范围.

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25. 如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y= $\frac{m}{x}$ 与y= $\frac{n}{x}$ (x>0，0<m<n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P，已知点B的横坐标为5。

(1)、当m=10，n=30时
①若点P的纵坐标为4，求直线AB的函数表达式

②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由。

(2)、四边形ABCD能否成为正方形?若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由。

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