重庆市忠县2020-2021学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列几何图形不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 点 $P (- 2 ， 3)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(2 ， - 3)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(- 2 ， - 3)$ D、 $(2 ， 3)$

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3. 将抛物线 $y = 2 x^{2}$ 向左平移3个单位后的新抛物线解析式为（）

A、 $y = 2 {(x - 3)}^{2}$ B、 $y = 2 {(x + 3)}^{2}$ C、 $y = 2 x^{2} - 3$ D、 $y = 2 x^{2} + 3$

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4. 一个选择题有 $A 、 B 、 C 、 D$ 四个答案，其中只有一个是正确的，小马不知道哪个答案是正确的，就随机选了一个，小马选择正确的概率为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、1

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5. 原价为100元的某商品经过两次降价后，现售价80元，如果每次降价的百分比都为x，则下列各式正确的是（）

A、 $100 (1 - 2 x) = 80$ B、 $100 {(1 - x)}^{2} = 80$ C、 $80 (1 + 2 x) = 100$ D、 $80 {(1 + x)}^{2} = 100$

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6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > 2$ B、 $k \geq 2$ C、 $k < 1$ D、 $k \leq 1$

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7. 下列命题是真命题的是（）

A、随机事件的概率为0.5 B、必然事件的概率为0 C、平分弦的直径垂直弦 D、圆的切线垂直于过切点的直径

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8. 下列图形都是由同样大小的小圆摆放而成，从第②个图形开始，在其底层每次增加前一个图形最底层小圆数量的一倍，按此规律排列，则第⑥个图形中一共有小圆为（）个.

A、31 B、41 C、63 D、64

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9. 如图， $B C$ 是圆 $O$ 的直径， $A C$ 与圆 $O$ 相切于点 $C ， O A$ 与圆 $O$ 交于 $D$ ，连接 $B D$ ，若 $∠ A = 40 °$ ，则 $∠ O D B =$ （）

A、 $25 °$ B、 $35 °$ C、 $40 °$ D、 $50 °$

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10. 已知 $(- 3 ， y_{1}) ， (- 2 ， y_{2}) ， (1 ， y_{3})$ 是抛物线 $y = 3 x^{2} + 12 x + m$ 上的点，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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11. 使关于 $x$ 的二次函数 $y = x^{2} + (a - 2) x - \frac{1}{a}$ 在 $y$ 轴左侧 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，且使得关于 $x$ 的分式方程程 $\frac{a x}{x - 2} - 1 = \frac{2}{2 - x}$ 有整数解的整数 $a$ 的和为（）

A、5 B、1 C、-1 D、-2

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，下列结论：① $a b c > 0$ ；② $a - b + c < 0$ ；③对任意实数 $m$ 都有 $a + b \geq a m^{2} + b m$ ；④ $3 a + c < 0$ ；其中正确结论的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题

13. 方程x²＝4的解是．

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14. 二次函数 $y = - 2 {(x + 2)}^{2} - 4$ 的对称轴是.

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15. 如图，将 $△ A O B$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转 $55 °$ 后得到 $△ C O D$ ，若 $∠ A O B = 15 °$ ，则 $∠ A O D =$ .

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16. 如图，以正方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 为圆心，以对角线 $A C$ 为半径画弧，交 $B D$ 的延长线于点 $E$ ，连结 $A E$ ，若 $A B = \sqrt{6}$ ，则图中阴影部分的面积为.（结果用 $π$ 表示）

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17. 在平面直角坐标系中，设点 $P (a ， b)$ .从 $- 3 ， - 2$ ，0，1，2这五个数中任取一个数作为 $a$ 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为 $b$ 的值，则点 $P (a ， b)$ 落在第四象限内的概率是.

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ B = 30 ° ， B C = 6$ . $D$ 是 $B C$ 上的一个动点，连接 $A D$ ，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $60 °$ 得到 $A E$ ，连接 $C E$ ，则点 $D$ 运动过程中， $C E$ 的最小值是.

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三、解答题

19. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 5$ .

(1)、求已知抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)、当 $y = 0$ 时，求 $x$ 的值.

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20. 如图， $A B$ 是圆 $O$ 的直径，点 $C$ 在圆 $O$ 上，点 $D$ 在 $A B$ 的延长线上， $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线.

(1)、证明： $∠ A C O = ∠ B C D$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径是5， $C D = 12$ ，求 $B D$ 的长.

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21. 由拔山中学高中二年级冉艳兰同学组成的重庆市代表队参加全国学生学宪法比赛，获得全国冠军.全国比赛前，拔山中学在高中一、二年级开展了宪法知识竞赛活动，两个年级各选10名同学代表参赛，他们的竞赛成绩（百分制）经过整理、描述和分析（成绩得分用

x

表示，共分成四组：

A

组

80 \leq x < 85 ， B

组

85 \leq x < 90 ， C

组

90 \leq x < 95 ， D

组

95 \leq x \leq 100

），下面给出了部分统计信息：

高中一年级10名学生的竞赛成绩是：98，81，98，86，98，96，90，100，89，84

高中二年级10名学生的竞赛成绩在 $C$ 组中的数据是：94，91，94

高中一二年级学生的竞赛成绩统计表

年级	高一	高二
平均数	92	92
中位数	$a$	$c$
众数	98	100
方差	46.2	52.4

高中二年级学生的竞赛成绩扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、求上述图表中

a ， b ， c

的值；

(2)、根据以上数据，你认为拔山中学的高中一、二年级中哪个年级学生掌握宪法知识更好?请说明理由（一条理由即可）；

(3)、高中二年级参赛学生成绩在

D

组

(95 \leq x \leq 100)

的男女生人数恰好相等，杨校长准备从

D

组的学生中任意挑选两名学生担任宪法知识宣传员，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生担任宪法知识宣传员的概率.

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22. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现了一种特殊的自然数——“极数”.定义：对于自然数 $n$ ，如果各个数位上的数字之和是9的整数倍，则称这个自然数 $n$ 为“极数”.例如：27与3456都是“极数”，因为 $2 + 7 = 9 ， 3 + 4 + 5 + 6 = 18$ ，且9，18都是9的整数倍；35与2786都不是“极数”，因为 $3 + 5 = 8 ， 2 + 7 + 8 + 6 = 23$ ，而8，23都不是9的整数倍.

(1)、判断126和4589是否是“极数”，说明理由；

(2)、求出大于100小于300的所有“极数”的个数，并说明理由.

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23. 2020年冬季，由于部分国家抗疫不力，全球新冠肺炎疫情加速上升.口罩和医用酒精成为人们日常生活中必须的防疫用品.某药店口罩每袋售价20元，医用酒精每瓶售价10元.

(1)、该药店2020年12月份第一周口罩的销售袋数比医用酒精的销售瓶数多100，且第一周这两种防疫用品的总销售额为8000元.求该药店第一周销售口罩多少袋?

(2)、由于疫情紧张，该药店为了帮助大家共渡难关，第二周口罩售价降低了 $a %$ ，销量比第一周增加了 $2 a %$ ，医用酒精的售价保持不变，销量比第一周增加了 $a %$ ，结果这两种防疫用品的总销售额比第一周增加了 $\frac{31}{40} a %$ ，求 $a$ 的值.

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24. 本题探究函数

y = | x^{2} - 2 x |

的图象，请按要求探究并解决问题.

(1)、自变量

x

的取值范围是全体实数，

x

与

y

的几组对应值列表如下，求表中

m

的值；

$x$	…	-1	-0.5	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	…
$y$	…	3	1.25	0	0.75	1	0.75	0	1.25	$m$	…

(2)、根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出了部分点，画出了部分图象；请在答题卷上描出另一部分点，并画出该函数图象的另一部分.

(3)、观察函数图象，并根据函数图象解决下面问题：

①若方程 $| x^{2} - 2 x | = a$ 有4个实数根，求实数 $a$ 的取值范围；

②若 $x = 2$ 是方程 $| x^{2} - 2 x | = a - x$ 的一个实数根，结合 $y = a - x$ 的图象，直接写出方程 $| x^{2} - 2 x | = a - x$ 的另外实数根.

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25. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象交 $x$ 轴于 $A ， B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，直线 $y = - x + 3$ 经过 $B ， C$ 两点.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 为抛物线第一象限上的一动点，连接 $P C ， P B$ ，求 $△ P B C$ 面积的最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标；

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在点 $M$ ，使得 $△ B C M$ 为直角三角形?若存在，请直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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26. 已知等腰直角 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 有公共顶点 $A ， ∠ B A C = ∠ D A E = 90 ° ， A B = A C = 4 ， A D = A E = 6$ .

(1)、如图①，当点 $B ， A ， E$ 在同一直线上时，点 $F$ 为 $D E$ 的中点，求 $B F$ 的长；

(2)、如图②，将 $△ A D E$ 绕点 $A$ 旋转 $α (0 ° < α \leq 360 °)$ ，点 $G 、 H$ 分别是 $A B 、 A D$ 的中点， $C E$ 交 $G H$ 于 $M$ ，交 $A D$ 于 $N$ .
①猜想 $G H$ 与 $C E$ 的数量关系和位置关系，并证明你猜想的结论；

②参考图③，若 $K$ 为 $A C$ 的中点，连接 $K M$ ，在 $△ A D E$ 旋转过程中，线段 $K M$ 的最小值是多少（直接写出结果）.

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