浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2018-2019学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-05-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 抛物线 $x^{2} = 2 y$ 的焦点坐标是（）

A、（0,1） B、（ $\frac{1}{2}$ ，0） C、（1,0） D、（0， $\frac{1}{2}$ ）

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2. 直线mx–（2m–1）y+1=0恒过定点（）

A、（–2，–1） B、（–2，1） C、（2，–1） D、（2，1）

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3. 已知函数 $f (x) = x + \ln x$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x} =$ （）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、3

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4. 下列说法中，错误的是（）

A、一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 B、平行于同一个平面的两个不同平面平行 C、若直线l与平面 $α$ 平行，则过平面 $α$ 内一点且与直线l平行的直线在平面 $α$ 内 D、若直线l不平行于平面 $α$ ，则在平面 $α$ 内不存在与l平行的直线

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5. 如图，正四棱锥P-ABCD所有棱长均为2，则其侧视图的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 若 $x = 1$ 是函数 $f (x) = a x + \ln x$ 的极值点，则（）

A、 $f (x)$ 有极大值 $- 1$ B、 $f (x)$ 有极小值 $- 1$ C、 $f (x)$ 有极大值0 D、 $f (x)$ 有极小值0

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7. 已知“a，b，c是不全相等的实数”，有下列结论：
① ${(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} = 0$ ；② $a > b$ 与 $a < b$ 及 $a \neq b$ 中至少有一个成立；③ $a \neq c$ ， $b \neq c$ ， $a \neq b$ 不能同时成立.其中正确的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕AB旋转一周，所得几何体的表面积为（）

A、3π B、4π C、5π D、6π

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9. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，焦点 $F_{1} (- 2 ， 0)$ ， $F_{2} (2 ， 0)$ .过 $F_{1} (- 2 ， 0)$ 作倾斜角为 $60 °$ 的直线L交上半椭圆于点A，以 $F_{1} A$ ， $F_{1} O$ （O为坐标原点）为邻边作平行四边形 $O F_{1} A B$ ，点B恰好也在椭圆上，则椭圆的长轴长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 + 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$

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10. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = A A_{1} = 2$ ，点Q为 $A_{1} B$ 的中点，若动点P在直线 $B_{1} C_{1}$ 上运动时，异面直线AB与PQ所成角的最小值为（）

A、30° B、45° C、 $60 °$ D、无法确定

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二、双空题

11. 设复数 $z = 1 - 2 i$ ，则复数 $z$ 的虚部为，复数 $z$ 的模为.

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12. 双曲线 $x^{2} - y^{2} = 2$ 的离心率为，渐近线方程为.

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13. 函数 $y = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 1$ ， $x \in [- 2 ， 4]$ 的减区间为，最大值为.

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14. 已知两圆相交于两点A（1，3），B（m，﹣1），若两圆圆心都在直线2x+y+c=0上，则m= ， c= ．

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三、填空题

15. 函数 $y = {(e^{x} - 1)}^{2} (x - 1)$ 在 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$ 上的最大值为.

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16. 如图，等腰直角 $△ A B C$ 底边 $B C = 4$ ，E为BC上异于B，C的一个动点，点F在AB上，且 $E F ⊥ B C$ ，现将 $△ B E F$ 沿EF折起到 $△ B^{'} E F$ 的位置，则四棱锥 $B^{'} - A F E C$ 体积的最大值为.

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17. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x} + \ln x$ ，若 $f (x)$ 在 $x = x_{1}$ 与 $x = x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ 处导数相等，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > m$ 恒成立，则实数m的最大值为

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四、解答题

18. 已知斜率 $k > 0$ 的直线L过定点 $M (2 ， 0)$ ，与圆 $E ： {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 12$ 相交于A，B两点，与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 相交于C，D两点，且满足 $| A B | = 6$ .

(1)、求直线L的方程：

(2)、求直线L与抛物线相交所截得的弦长 $| C D |$ .

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19. 设函数 $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} + \frac{1}{2} b x^{2} + c x + 1$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数， $f^{'} (1) = - \frac{a}{2}$ ， $3 a > 2 c > 2 b$ .

(1)、用a，b表示c，并证明：当 $a > 0$ 时， $- 3 < \frac{b}{a} < - \frac{3}{4}$ ；

(2)、若 $a = - \frac{1}{2}$ ， $b = 2$ ， $c = - \frac{3}{2}$ ，求证：当 $x \geq 1$ 时， $\ln x \geq f^{'} (x)$ .

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20. 如图1，有一边长为2的正方形ABCD，E是边AD的中点，将 $△ A B E$ 沿着直线BE折起至 $△ A^{'} B E$ 位置（如图2），此时恰好 $A^{'} E ⊥ A^{'} C$ ，点 $A^{'}$ 在底面上的射影为O.

(1)、求证： $A^{'} E ⊥ B C$ ；

(2)、求直线 $A^{'} B$ 与平面BCDE所成角的正弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x} + a \ln x (a \in R)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $y = f (x)$ 在点 $P (1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0 ， e^{2}]$ 上的零点个数

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22. 已知 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，焦点 $F (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设直线L与椭圆C相切于点A，过点A作关于原点O的对称点B，过点B作 $B M ⊥ L$ ，垂足为M，求 $△ A B M$ 面积的最大值.

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