山东省济宁市邹城市2019-2020学年高三上学期期中数学试题

试卷更新日期：2019-12-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 数列1, $- \frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $- \frac{1}{4}$ , $\frac{1}{5}$ ,……的一个通项公式 $a_{n} =$ （）

A、 $\frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ B、 $- \frac{1}{n}$ C、 $\frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n}$ D、 $\frac{1}{n}$

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2. 设集合 $A = {x | y = \log_{2} (x - 2)}$ ， $B = {y | y = \sqrt{2 - x}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0,2]$ B、 $(1,2]$ C、 $(1,2)$ D、 $(2, + \infty)$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (t, 2)$ , $\vec{b} = (2, 1)$ ,若向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直,则 $| \vec{a} | =$ （）

A、9 B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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4. 若 $a = \log_{π} 0.8 ， b = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{1}{2}} ， c = 2^{- \frac{1}{2}}$ ，则有（）

A、a<b<c B、a<c<b C、c<a<b D、b<c<a

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5. 在等比数列中，若 $a_{5} a_{7} a_{9} a_{11} a_{13} = 243$ ，则 $\frac{a_{11}^{2}}{a_{13}}$ 的值为（）

A、 B、1 C、2 D、3

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6. 如图点A为单位圆上一点， $∠ x O A = \frac{π}{3}$ ，点A沿单位圆逆时针方向旋转角 $α$ 到点B $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

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7. 函数 $f (x) = x \ln | x |$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = \sin ω x - \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ 的图象与 $x$ 轴的两个相邻交点的距离等于 $\frac{π}{2}$ ,若函数 $y = f (x)$ 的图象上各点的纵坐标不变,先将其上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $y = g (x)$ 的图象,则函数 $g (x) =$ （）

A、 $2 \sin (x + \frac{π}{6})$ B、 $2 \sin (x - \frac{π}{6})$ C、 $2 \sin (x + \frac{π}{3})$ D、 $2 \sin (x - \frac{π}{3})$

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9. 设 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $3 a \cos C = 4 c \sin A ，$ 已知 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{1}{2} b c \sin A = 10 ， B = 4$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{23}{3}$ B、 $\frac{28}{3}$ C、 $\frac{26}{3}$ D、 $\frac{25}{3}$

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10. 关于数列 ${a_{n}}$ ,给出下列命题：①数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = 2 a_{n - 1} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ,则数列 ${a_{n}}$ 为公比为2的等比数列；②“ $a$ , $b$ 的等比中项为 $G$ ”是“ $G^{2} = a b$ ”的充分不必要条件：③数列 ${a_{n}}$ 是公比为 $q$ 的等比数列,则其前 $n$ 项和 $S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ ；④等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,则 $S_{4}$ ， $S_{8} - S_{4}$ ， $S_{12} - S_{8}$ 成等比数列,其中假命题的序号是（）

A、② B、②④ C、①②④ D、①③④

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \frac{\ln x}{x} ， x > 0 \\ - x^{2} + 2 x ， x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $y = f (x) - t$ （ $t$ 为常数）有三个零点，则实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{1}{e} ， 0)$ B、 $(- \frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 ${1} \cup (- \frac{1}{e} ， 0)$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{e}) \cup (1 ， + \infty)$

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12. 定义域为 $[a ， b]$ 的函数 $y = f (x)$ 图像的两个端点为 $A$ 、 $B$ ，向量 $\overset{⇀}{O N} = λ \overset{⇀}{O A} + (1 - λ) \overset{⇀}{O B}$ ， $M (x ， y)$ 是 $f (x)$ 图像上任意一点，其中 $x = λ a + (1 - λ) b$ ，若不等式 $| M N | \leq k$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上满足“ $k$ 范围线性近似”，其中最小正实数 $k$ 称为该函数的线性近似阈值.若函数 $y = \frac{2}{x}$ 定义在 $[1 ， 2]$ 上，则该函数的线性近似阈值是（）

A、 $2 - \sqrt{2}$ B、 $3 - 2 \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} + 2 ， x \leq 1 \\ \log_{a} (x - 1) ， x > 1 \end{array}$ ，若 $f [f (0)] = 2$ ，则实数 $a$ 的值是．

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14. 已知 $a > b > 0$ ,且 $a b = 4$ ,则当 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b}$ 取得最小值时相应的 $a - b =$ .

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15. 已知定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，满足 $f (x) < f^{'} (x)$ 且 $f (0) = 1$ ，则不等式 $e^{x} < f (x)$ （ $e$ 为自然对数的底数）的解集是.

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16. $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $b$ 是 $a$ 与 $c$ 的等比中项，且 $\sin A$ 是 $\sin (B - A)$ 与 $\sin C$ 的等差中项，则 $C =$ ， $\cos B =$ .

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x \in R | 0 < a x + 1 \leq 3}$ ,集合 $B = {x \in R | - 1 < x \leq 2} (a \neq 0)$ .若命题 $p : x \in A$ ,命题 $q : x \in B$ ,且 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件,求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 在 $Δ A B C$ 中,角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ,满足 $\cos C + \cos A \cos B = 2 \sqrt{2} \sin A \cos B$ ．

(1)、求 $\cos B$ 的值；

(2)、若 $a + c = 2$ ，求 $b$ 的取值范围

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2 x + \sin^{4} \frac{x}{2} + \cos^{4} \frac{x}{2} - \frac{3}{4}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ 上对称轴、对称中心及其最值.

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20. 新能源汽车是我国汽车工业由大变强的一条必经之路！国家对其给予政策上的扶持，己成为我国的战略方针.近年来，我国新能源汽车制造蓬勃发展，某著名车企自主创新，研发了一款新能源汽车，经过大数据分析获得：在某种路面上，该品牌汽车的刹车距离 $y$ （米）与其车速 $x$ （千米/小时）满足下列关系： $y = \frac{x^{2}}{200} + m x + n$ （ $m$ ， $n$ 是常数）.（行驶中的新能源汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离）.如图是根据多次对该新能源汽车的实验数据绘制的刹车距离 $y$ （米）与该车的车速 $x$ （千米/小时）的关系图.该新能源汽车销售公司为满足市场需求，国庆期间在甲、乙两地同时展销该品牌的新能源汽车，在甲地的销售利润（单位：万元）为 $y_{1} = 4.1 x - 0.1 x^{2}$ ，在乙地的销售利润（单位：万元）为 $y_{2} = 2 x$ ，其中 $x$ 为销售量（单位：辆）.

(1)、若该公司在两地共销售20辆该品牌的新能源汽车，则能获得的最大利润 $L$ 是多少？

(2)、如果要求刹车距离不超过25.2米，求该品牌新能源汽车行驶的最大速度.

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21. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $S_{3} = 2 S_{2} + 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 为递增数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{2 n - 1}{2 a_{n}} (n \in N^{*})$ ，求数列 $b_{n}$ 的前n项
和 $T_{n}$ .

(3)、在条件（2）下，若不等式 $λ n T_{n} - 3 λ n + b_{n} < 0$ 对任意正整数n都成立，求 $λ$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - a$ （ $e$ 为自然对数的底数）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、问：是否存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 有两个相异零点？若存在，求出 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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