上海市普陀区2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列函数中，是二次函数的为（）

A、 $y = 2 x + 1$ B、 $y = {(x - 2)}^{2} - x^{2}$ C、 $y = \frac{2}{x^{2}}$ D、 $y = 2 x (x + 1)$

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2. 下列命题中，正确的是（）

A、所有的矩形都相似； B、所有的等腰梯形都相似； C、所有的等边三角形都相似； D、含有 $30^{\circ}$ 角的所有等腰三角形都相似

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3. 如图，已知 $A B / / C D / / E F$ ， $B D ： D F = 1 ： 2$ ，那么下列结论中，正确的是（）

A、 $A C ： A E = 1 ： 3$ B、 $C E ： E A = 1 ： 3$ C、 $C D ： E F = 1 ： 2$ D、 $A B ： E F = 1 ： 2$

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4. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像如图所示，那么 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的符号为（）

A、 $a > 0 ， b > 0 ， c > 0$ B、 $a < 0 ， b < 0 ， c > 0$ C、 $a < 0 ， b > 0 ， c > 0$ D、 $a < 0 ， b < 0 ， c < 0$

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5. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 都是非零向量，下列条件中，不能判断 $\vec{a} / / \vec{b}$ 的是（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $\vec{a} = 3 \vec{b}$ C、 $\vec{a} / / \vec{c}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ D、 $\vec{a} = 2 \vec{c}, \vec{b} = - 2 \vec{c}$

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $O A = 2$ ， $O B = 3$ ， $O C = 6$ ， $O D = 4$ ，那么下列结论中，错误的是（）

A、 $∠ O A D = ∠ O B C$ B、 $\frac{A B}{C D} = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{C_{Δ A O B}}{C_{Δ D O C}} = \frac{1}{2}$ D、 $\frac{S_{Δ A O D}}{S_{Δ B O C}} = \frac{1}{9}$

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二、填空题

7. 如果 $\frac{x}{y} = \frac{5}{3}$ ，那么 $\frac{x}{x - y} =$ .

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8. 已知点 $P$ 在线段 $A B$ 上，且 $A P^{2} = B P \cdot A B$ ，那么 $\frac{B P}{A P}$ 的值是.

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9. 如果二次函数 $y = x^{2} - 3 x + 2 m + 1$ 的图像经过原点，那么 $m$ 的值是.

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10. 将抛物线 $y = 2 x^{2} + 3$ 向右平移5个单位，那么平移后所得的新抛物线的表达式是.

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11. 二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 1$ 的图像与 $y$ 轴的交点坐标是.

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12. 如果点 $A (2, y_{1})$ 、 $B (3, y_{2})$ 是二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 1$ 的图像上两点，那么 $y_{1}$ $y_{2}$ .（填“>”、“=”或“<”）

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13. 一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，面积随之增加y平方厘米，则y关于x的函数表达式是．

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14. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $B C$ 上， $A E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，如果 $\frac{B F}{F D} = \frac{2}{3}$ ，那么 $\frac{B E}{B C}$ 的值是.

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15. 如图，已知△ $A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $B C = 16$ ，点 $P$ 、 $D$ 分别在边 $B C$ 、 $A C$ 上， $B P = 12$ ， $∠ A P D = ∠ B$ ，那么 $C D$ 的长是.

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16. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，如果 $C D = 4$ ，那么 $A D \cdot B D$ 的值是.

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17. 已知 $G$ 是△ $A B C$ 的重心，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，那么 $\bar{A G}$ =（用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示）．

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18. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $D E / / A C$ ，将 $Δ B D E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转得到 $Δ B D^{'} E^{'}$ ，点 $D$ 的对应点 $D^{'}$ 落在边 $B C$ 上，已知 $B E^{'} = 5$ ， $D^{'} C = 4$ ，则 $B C$ 的长为.

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三、解答题

19. 如图，已知两个不平行的向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ .先化简，再求作： $(\frac{7}{2} \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) - (\frac{3}{2} \overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b})$ .（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量）

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20. 已知二次函数的图象经过 $A (0 ， - 1)$ 、 $B (1 ， - 3)$ 、 $C (- 1 ， 3)$ 三点.

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、求出图像的顶点坐标.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} - 4$ 与 $x$ 轴的负半轴交于点 $A$ 、与 $y$ 轴交于点 $B$ ，且 $A B = 2 \sqrt{5}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、如果点 $P$ 是抛物线上一点，联结 $A P$ 交 $y$ 轴正半轴于点 $C$ ， $\frac{A C}{P C} = \frac{1}{2}$ ，求 $P$ 的坐标.

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22. 已知：如图， $\frac{A D}{A E} = \frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C E}$ .

(1)、求证：△ $A D E$ ∽△ $A B C$ ；

(2)、如果 $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = 6$ ， $B C = 3 \sqrt{5}$ ， $A E = 2$ ，求 $D E$ 的长.

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23. 已知：如图，在△ $A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是边 $B C$ 上的中线， $B E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $A D$ 与 $B E$ 交于点 $H$ .

(1)、求证： $B D^{2} = D H \cdot D A$ ；

(2)、过点 $C$ 作 $C F / / A B$ 交 $B E$ 的延长线于点 $F$ .求证： $H B^{2} = H E \cdot H F$

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - x + 5$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ 、 $B$ ，抛物线经过 $A$ 、 $B$ 两点，且对称轴为直线 $x = 3$ .

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如果点 $Q$ 是这抛物线上位于 $x$ 轴下方的一点，且△ $A B Q$ 的面积是 $10$ .求点 $Q$ 的坐标.

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25. 已知：如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $A C = 4$ ， $A B = 5$ ， $D$ 是斜边 $A B$ 的中点，以 $D$ 为顶点，作 $∠ E D F = ∠ A$ ， $∠ E D F$ 的两边交边 $A C$ 于点 $E$ 、 $F$ （点 $F$ 不与点 $C$ 重合）

(1)、当 $D F ⊥ A B$ 时，求 $C F$ 的长度；

(2)、当 $∠ E D F$ 绕点 $D$ 转动时，设 $C F = x$ ， $C E = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围.

(3)、联结 $B F$ ，是否存在点 $F$ ，使△ $B D F$ 与△ $A D E$ 相似？若存在，请求出此时 $C F$ 的长度；若不存在，请说明理由.

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