【培优卷】2024年北师大版数学八（下）6.3三角形的中位线...

更新时间：2024-05-05 浏览次数：13 类型：同步测试

一、选择题

1. 如图，在△ABC中，D，E分别是边 AB，BC的中点，点F 在射线DE 上.添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（）

A . ∠B=∠F B . DE=EF C . AC=CF D . AD=CF

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2. (2023·青岛) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E ， F分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点M ， G为 $\text{[math]}$ 上一点，N为 $\text{[math]}$ 的中点．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长度为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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3. 我们知道：五边形具有不稳定性，小文将正五边形沿箭头方向向右推，使点B在线段AC上，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 减小了 $\text{[math]}$ B . 增加了 $\text{[math]}$ C . 减少了 $\text{[math]}$ D . 增加了 $\text{[math]}$

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4. (2023八下·萧山期末) 如图， $\text{[math]}$ 是锐角三角形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边向外侧作等腰三角形 $\text{[math]}$ 和等腰三角形 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是底边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ （是锐角），则 $\text{[math]}$ 的度数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023八下·海曙期中) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8，点D是AC上一个动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，线段DE的最小值是（）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 6

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6. (2022八下·临渭期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ cm， $\text{[math]}$ cm， $\text{[math]}$ cm，则图中阴影部分面积为（）

A . 25cm² B . 35cm² C . 30cm² D . 42cm²

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7. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$
B . $\text{[math]}$
C . $\text{[math]}$
D . $\text{[math]}$

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8. (2023八下·肥城期中) 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（　　）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题

9. (2024八上·洪山期末) 如图，等腰直角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点．点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，以 $\text{[math]}$ 为直角边向右上方构造等腰直角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．在 $\text{[math]}$ 点的运动过程中， $\text{[math]}$ 长度的最小值是．

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10. (2023八下·沙坪坝期末) 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿着对角线 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为．

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11. (2023八下·青羊期末) 如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为．

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12. (2023八下·文山期末) 如图， $\text{[math]}$ 的三边长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形， $\text{[math]}$ ，以此类推，第 $\text{[math]}$ 次组成的三角形的周长．

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13. (2023八下·温州期中) 如图1是雨伞的结构示意图．OP是伞柄，OM，AB，CD是伞骨．已知点A，C分别是OM，AB的中点．CD＝ $\text{[math]}$ （dm），点B，D在OP上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当OP与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，∠ABD＝90°；再将雨伞收拢到如图3，此时B′D′＝1（dm），且点C′到OP的距离恰好等于图2中BD的长．则伞骨AB的长为（dm），设图2中能罩住的水平面面积是S₁ ，图3中能罩住的水平面面积是S₂ ，则 $\text{[math]}$ ＝．

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三、解答题

14. (2023八下·南岸期末) 已知， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线，过点C作 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
2. （2） P是线段 $\text{[math]}$ 上一点（不与点A，D重合）， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 于点E，连接 $\text{[math]}$ ．
  ①如图2，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形吗？请说明理由．
  ②如图3，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．
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15. (2023八下·石景山期末) 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中，点D ， E分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边的中点．求证： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）方法一：证明：如图，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
2. （2）方法二：证明：如图，取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
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16. (2023八下·遂川期末)
1. （1）课本再现
  已知：如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中位线．求证： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
  定理证明
  证明：如图1，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
2. （2）知识应用
  如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的长．
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17. (2024八下·道县月考)
1. （1）回归课本
  请用文字语言表述三角形的中位线定理：．
2. （2）回顾证法
  证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程．
  已知：在 $\text{[math]}$ 中，点D ， E分别是 $\text{[math]}$ 的中点．
  求证：_▲_．
  证明：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ．
3. （3）实践应用
  如图3，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 被池塘隔开，在 $\text{[math]}$ 外选一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，分别取 $\text{[math]}$ 的中点D ， E ，测得 $\text{[math]}$ 的长度为9米，则B ， C两点间的距离为．
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