北京市东城区2021年中考数学一模试卷

更新时间：2021-06-05 浏览次数：287 类型：中考模拟

一、单选题

1. 某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（）

A . 三棱柱 B . 长方体 C . 圆柱 D . 圆锥

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2. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，下列函数的图象不过点 $\text{[math]}$ 的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射.2021年2月10日，在经过长达七个月，475 000 000公里的漫长飞行之后，“天问一号”成功进入火星轨道．将475000000科学记数法表示应为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，在图中所标记的角中，与 $\text{[math]}$ 相等的角是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图， $\text{[math]}$ 经过旋转或轴对称得到 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 的是（）

A . B . C . D .

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6. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）

A . b+c＞0 B . a-b＞a-c C . ac＞bc D . ab＞ac

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7. 如图，PA，PB是 $\text{[math]}$ 的切线，切点分别为A，B， PO的延长线交 $\text{[math]}$ 于点C，连接OA，OB，BC．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以 $\text{[math]}$ 长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

9. 若分式 $\text{[math]}$ 的值为0，则x的值等于．

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10. 分解因式： $\text{[math]}$ ．

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11. 用一组 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值说明命题“若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ”是错误的，这组值可以是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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12. 4月23日是世界读书日，甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量．设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，则可列方程组为．

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13. 有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：

投掷次数（n）	“出现点数为1”的次数（频数m）	频率 $\text{[math]}$
300	52	0.173
400	65	0.163
500	80	0.160
600	99	0.165
700	114	0.163
800	136	0.170
900	151	0.168
1000	166	0.166

根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为1”的概率为（精确到0.001）

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14. 若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是．

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15. 若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个相等的实数根，则c的最小值是．

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16. 小青要从家去某博物馆参加活动，经过查询得到多种出行方式，可选择的交通工具有地铁、公交车、出租车、共享单车等，小青的家到地铁站（或公交车站）有一段距离，地铁站（或公交车站）到该博物馆也有一段距离，需要步行或骑共享单车，共享单车的计价规则为：每30分钟1.5元，不足30分钟的按30分钟计算，出行方式的相应信息如下表（√表示某种出行方式选择的交通工具）；

	乘出租车	乘坐公交车	乘坐地铁	骑共享单车	共需步行（公里）	总用时（分钟）	费用（元）
方式1			√		2.0	47	4
方式2				√		56	3
方式3		√			1.6	78	3
方式4		√			1.8	80	3
方式5		√	√		1.5	60	6
方式6		√	√		1.6	56	6
方式7		√	√		1.7	55	6
方式8		√	√		1.5	57	6
方式9	√				0.2	32	41

根据表格中提供的信息，小青得出以下四个推断：

①要使费用尽可能少，可以选择方式2，3，4；

②要使用时较短，且费用较少，可以选择方式1；

③如果选择公交车和地铁混合的出行方式，平均用时约57分钟；

④如果将上述出行方式中的“步行”改为“骑共享单车”，那么除方式2外，其它出行方式的费用均会超过8元．

其中推断合理的是（填序号）．

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三、解答题

17. 计算： $\text{[math]}$ ．

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18. 已知 $\text{[math]}$ ，求代数式 $\text{[math]}$ 的值．

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19. 尺规作图：如图，已知线段a，线段b及其中点．

求作：菱形ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长．

作法：①作直线m，在m上任意截取线段 $\text{[math]}$ ；

②作线段AC的垂直平分线EF交线段AC于点O；

③以点O为圆心，线段b的长的一半为半径画圆，交直线EF于点B，D；

④分别连接AB，BC，CD，DA；

则四边形ABCD就是所求作的葵形．
1. （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
2. （2）完成下面的证明．
  证明： $\text{[math]}$ ，
  
  $\text{[math]}$ 四边形ABCD是 ▲ ．
  
  $\text{[math]}$ ，
  
  $\text{[math]}$ 四边形ABCD是菱形（ ▲ ）（填推理的依据）．
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20. 解不等式组： $\text{[math]}$ ，并写出其中的正整数解．

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21. 解分式方程： $\text{[math]}$ ．

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22. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作 $\text{[math]}$ 于点E，DE的延长线交AB于点F，过点B作 $\text{[math]}$ 交DC于点G，交AC于点M．过点G作 $\text{[math]}$ 于点N．
1. （1）求证：四边形NEMG为矩形；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求线段AC的长．
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23. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行，且过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 的表达式；
2. （2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 关于y轴对称，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 围成的区域W内（不包含边界）恰有6个整点，求m的取值范围．
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24. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内接三角形，过点C作 $\text{[math]}$ 的切线交AB的延长线于点D， $\text{[math]}$ 于点E，交CD于点F．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求线段CF的长．
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25. 第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下而给出了相关信息：
a.30名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：

b.30名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ）：

c．测试成绩在 $\text{[math]}$ 这一组的是：

70 73 74 74 75 75 77 78

d．小明的冬奥知识测试成绩为85分

根据以上信息，回答下列问题：
1. （1）小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第；
2. （2）抽取的30名同学的成绩的中位数为；
3. （3）序号为1-10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为 $\text{[math]}$ ；序号为11-20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为 $\text{[math]}$ ；序号为21-30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为 $\text{[math]}$ ．直接写出 $\text{[math]}$ 的大小关系；
4. （4）成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为人．
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26. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
2. （2） ①当 $\text{[math]}$ 时，求y的值；
  ②若 $\text{[math]}$ ，求x₁的值（用含a的式子表示）；
3. （3）若对于 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求a的取值范围．
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27. 已知 $\text{[math]}$ ，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接 $\text{[math]}$ ．点A关于直线BQ的对称点为点C，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如下图，若P为线段AB的中点．
  
  ①直接写出 $\text{[math]}$ 的度数；
  
  ②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；
2. （2）如下图，若线段CP与BQ交于点D．
  
  ①设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的大小（用含a的式子表示）；
  
  ②用等式表示线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．
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28. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知正方形 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，M，N为该正方形外两点， $\text{[math]}$ ．给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 分别落在正方形 $\text{[math]}$ 的相邻两边上，或线段 $\text{[math]}$ 与正方形的边重合（ $\text{[math]}$ 分别为点M，N，P的对应点），线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值称为线段MN到正方形 $\text{[math]}$ 的“平移距离”．
1. （1）如下图，平移线段MN，得到正方形 $\text{[math]}$ 内两条长度为1的线段 $\text{[math]}$ ，则这两条线段的位置关系是；若 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点，在点 $\text{[math]}$ 中，连接点P与点的线段的长度等于线段MN到正方形 $\text{[math]}$ 的“平移距离”；
2. （2）如图，已知点 $\text{[math]}$ ，若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形 $\text{[math]}$ 的“平移距离”为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
3. （3）若线段MN的中点P的坐标为 $\text{[math]}$ ，记线段MN到正方形 $\text{[math]}$ 的“平移距离”为 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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