相关试卷

1、图1 为我国高铁座位的实物图，图2 是它的简易图，座位 $A D$ 和座椅靠背 $A E$ 的夹角 $∠ D A E = 100 °$ ，小桌板 $B C$ 与座位 $A D$ 平行，小桌板支撑杆 $A B$ 与桌面 $B C$ 的夹角 $∠ A B C = 125 °$ ，则座椅靠背 $A E$ 与小桌板支撑杆 $A B$ 形成的夹角 $∠ E A B$ 的度数是（）

A、 $25 °$ B、 $20 °$ C、 $15 °$ D、 $10 °$

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2、下列运算正确的是（）

A、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ B、 ${(- a^{2} b)}^{3} = - a^{6} b^{3}$ C、 ${(- a + b)}^{2} = - a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$

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3、以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4、在城市规划中，工程师们正在设计一座新的桥梁．桥梁的主结构由多个三角形支撑构成，以确保其稳定性．为了优化材料的使用和承重分布，工程师需要精确计算各个支撑杆的长度和角度．

(1)、等边三角形支撑的初步计算：
桥梁的一个主要支撑结构是一个等边三角形 $A B C$ ，其边长为 $5$ 米．为了加强支撑，工程师在 $A C$ 边上选择了一个点 $D$ ，并从 $D$ 点平行于 $B C$ 方向铺设了一根长度为 $1$ 米的加固杆 $D F$ 同时，从 $B$ 点向外延伸 $1$ 米到 $E$ 点，连接 $D E$ 与 $A B$ 相交于 $P$ ，请计算 $P F$ 的长度．

(2)、可变尺寸的等边三角形支撑：
现在，工程师考虑用不同尺寸的等边三角形支撑，其边长为 $a$ 米．同样地，从 $D$ 点平行于 $B C$ 铺设长度为 $b$ 米的加固杆 $D F$ ，并延长 $C B$ 至点 $E$ 使得 $B E = b$ 米．为了进一步加固，从 $P$ 点垂直 $(P G ⊥ A B)$ 设置一根支柱，与 $B C$ 交于 $G$ ，请计算 $F G$ 的长度．

(3)、非等边三角形支撑的特殊条件：
在另一个设计中，支撑结构不再是等边三角形，工程师在 $A C$ 边上选择 $D$ 点，并从 $D$ 点垂直向下 $(D F ⊥ B C)$ 设置测量杆 $D F ．$ 他们发现主梁 $A B$ 与斜拉索 $D E$ 的长度相等 $(A B = D E)$ ，并且 $∠ A + ∠ E = ∠ C$ ，请证明 $B E = 2 C F$ ．

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5、探究活动：折叠中的对称之美
【初步探究】
在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家： $“$ 折叠中隐含着许多轴对称问题． $”$ 为了深入理解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片 $A B C D$ ，其中， $A B ∥ C D$ ， $A D ∥ B C$ ．他在边 $A D$ 上取一点 $E$ ，在边 $B C$ 上取一点 $F$ ，并将纸片沿直线 $E F$ 折叠，使得点 $C$ 落在新位置 $C^{'}$ ，如图 $1$ ，小明发现 $△ G E F$ 是等腰三角形；

(1)、请结合图1证明 $△ G E F$ 是一个等腰三角形（即 $G E = G F$ ）
【深入探究】
小明又沿着对称轴 $G H$ 折叠，使得点 $E$ 与 $F$ 重合，展开后如图 $2$ ， $G H$ 与 $E F$ 交于点 $O$ ，连接 $E H$ 后，他想进行以下探究活动：
活动1（计算面积）：
若测量得 $E F = 10$ ， $G H = 8$ ，求四边形 $G F H E$ 的面积；
活动2（证明性质）：
小明发现四边形 $G F H E$ 的四条边均相等，你能证明吗？

(2)、请选择以上任意一个活动完成．

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6、【阅读材料】
我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法．

(1)、【类比探究】
利用图1中面积的等量关系可以得到的数学公式为（请填序号）．
① $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$     ② $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
③ $a (a + b) = a^{2} + a b$       ④ $a (a - b) = a^{2} - a b$

(2)、【解决问题】
利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题：
①已知 $a - b = 3, a^{2} + b^{2} = 5$ ，则 $a b =$ ▲  ；
②若 $(6 + x) x = 7$ ，求 $(6 + x)^{2} + x^{2}$ 的值；

(3)、【拓展应用】
如图，点E是线段 $A B$ 上的一点，在线段 $A B$ 的同侧作以 $A B 、 B E$ 为边的正方形，设 $A E = 6$ ，两正方形的面积和为50，求图中阴影部分面积．

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7、图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在 $9 \times 9$ 个小方格的雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．

(1)、小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是；

(2)、如图2，小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方格中埋藏着2颗地雷（图中包含数字2的黑框区域记为 $A$ ），若小明在区域 $A$ 内围着数字2的8个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是；

(3)、如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在 $A$ 区域内的小方格上还是应踩在 $A$ 区域外的小方格上？并说明理由．

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8、德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．
请认真观察图象，回答下列问题：

(1)、这个变化过程中自变量是（填文字）；因变量是（填文字）

(2)、请说明点D的实际意义．

(3)、由图可知，知识记忆遗忘先后，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐．（填序号）
①快；②慢；③增多；④减少．

(4)、有研究表明，如及时复习，一天后记忆量能保持 $98 %$ ，根据上述遗忘曲线规律制定两条暑假学习计划．

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9、先化简再求值： $[(x y + 2) (x y - 2) - 9 x^{2} y^{2} + 4] \div (- 4 x y)$ ，其中 $x = 4$ ， $y = \frac{1}{2}$ ．

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10、如图，某社区公园的平面示意图为一个三角形区域 $A B C$ ， A为公园主入口．已知 $A B = A C = 600$ 米， $∠ B A C = 100 °$ ，为方便居民活动，计划在 $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 上设置一个便民服务站D（D在 $A C$ 边上）；在 $B D$ 和 $B C$ 边上分别选取安装点E、F，要求 $B E = C F$ ；沿 $A E$ 、 $A F$ 铺设两条智能照明步道，已知步道建设成本为每米400元，为节省经费，这两条步道总建设费用的最小值为元．

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11、如图，已知点 $P$ 在直线 $l$ 外，按以下步骤作图：①在直线 $l$ 上任取一点 $A$ ，以点 $A$ 为圆心，以 $A P$ 的长为半径作弧，交直线 $l$ 于点 $B$ ，连接 $P B$ ；②以点 $P$ 为圆心，以 $P A$ 的长为半径作弧；③以点 $A$ 为圆心，以 $P B$ 的长为半径作弧，交前弧于点 $C$ ，作直线 $P C$ ．若 $∠ P B A = 72 °$ ，则 $∠ B P C$ 的度数为．

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12、把两个同样大小的含 $30 °$ 角的直角三角板 $A B C$ 和三角板 $B A D$ 按如图所示放置， $M$ 是 $A C$ 与 $B D$ 的交点，通过读刻度尺的数据，得 $C M$ 的长为 $4.5 c m$ ，则点 $M$ 到 $A B$ 边的距离是 $c m$ ．

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13、已知 $m - n = 2$ ， $m^{2} - n^{2} = 6$ ，则 $m + n$ 的值为．

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14、三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是 $△ A B C$ 的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知 $A C > B C > A B$ ）（）

A、 $O A B C O$ B、 $O A C B O$ C、 $O B A C O$ D、 $O B C A O$

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15、下列说法正确的是（）

A、掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是必然事件 B、“在平面上任意画一个三角形，其内角和为 $180 °$ ”这一事件是必然事件 C、在单词 $b o o k$ （书）中任意选邦一个字母为o的概率为 $\frac{1}{3}$ D、天气预报说明天的降水概率是 $90 %$ ，则明天一定会下雨

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16、如图，点E在 $B C$ 的延长线上，下列选项中，能判断 $A D ∥ B C$ 的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 4$ B、 $∠ 2 = ∠ 5$ C、 $∠ 4 = ∠ B$ D、 $∠ 1 = ∠ 3$

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17、如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D是 $B C$ 中点，下列结论中不正确的是（）

A、 $∠ B = ∠ C$ B、 $A D$ 平分 $∠ B A C$ C、 $A D ⊥ B C$ D、 $A B = 2 B D$

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18、下列运算正确的是（）

A、 $2 a^{3} + 3 a^{2} = 5 a^{5}$ B、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{8}$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 ${(- a^{2})}^{3} = - a^{6}$

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19、习近平总书记在一次中国品牌论坛开幕式中为品牌强国建设指明了前进方向，下列国货品牌标志图案中不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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20、在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N（不与原点O重合），及平面内一点P，给出如下定义：若点P关于直线ON的对称点P^'在图W上或内部，则称点P是图W的“映射点”．

(1)、如图1，已知图W₁：线段AB，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．在P₁（﹣1，0），P₂（1，2）中，是图W₁的“映射点”；

(2)、如图2，已知图W₂：正方形ABCD，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）．若直线l：y＝x+b上存在点P是图W₂的“映射点”，求b的最大值；

(3)、如图3，已知图W₃：⊙T，圆心为T（0，t），半径为1．若x轴上存在点P是图W₃的“映射点”，请直接写出t的取值范围．

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