相关试卷

1、阅读理解：
对于数轴上任意一点 $P$ ，把与点 $P$ 相距 $a$ 个单位长度 ( $a$ 是正数) 的两点所表示的数分别记作 $x$ 和 $y$ (其中 $x < y$ )，并把 $x, y$ 这两个数叫做“点 $P$ 关于 $a$ 的对称数组”，记作 $M (P, a) = < x$ ， $y >$ . 例如：原点 $O$ 表示数 0，原点 $O$ 关于 1 的对称数组是 $M (0, 1) = < - 1, 1 >$ .

(1)、如果点 $P$ 表示数 1，那么点 $P$ 关于 2 的对称数组是；

(2)、如果 $M (P, a) = < - 3, 5 >$ ，那么点 $P$ 表示的数是； $a$ 的值是；

(3)、如果 $P$ 表示数3， $M (P ， a) = < - 2018$ ， $y >$ ，则 $y$ 的值是；

(4)、如果 $P$ 、 $Q$ 是数轴上两个动点， $M (P, 3) = < x, y >, M (Q, 2) = < m, n >$ ，两点同时从原点出发反向运动，且点 $Q$ 的速度是点 $P$ 速度的 2 倍，当 $y - m = 2 x + n$ 时，点 $Q$ 表示的数是；

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2、对于有理数 $x, y, a, t$ ，若 $|x - a| + |y - a| = t$ ，则称 $x$ 和 $y$ 关于 $a$ 的 “友谊数” 为 $t$ ，例如， $|2 - 1| + |3 - 1| = 3$ ，则 2 和 3 关于 1 的” 友谊数 “为 3.

(1)、-1 和 5 关于 4 的“友谊数”为；

(2)、若 $2 k$ 和 1 关于 3 的 “友谊数” 为 4，求 $k$ 的值；

(3)、若 $x_{0}$ 和 $x_{1}$ 关于 1 的 “友谊数” 为 $1, x_{1}$ 和 $x_{2}$ 关于 2 的 “友谊数” 为 $1, x_{2}$ 和 $x_{3}$ 关于 3 的 “友谊数”为 $1, \dots, x_{50}$ 和 $x_{51}$ 关于 51 的“友谊数”为 1 ；
① $x_{0} + x_{1}$ 的最大值为；
② $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{50}$ 的最小值为.

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3、求若干个相同的有理数 (均不等于 0 ) 的除法运算叫做除方，如 $2 \div 2 \div 2, (- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 等. 类比有理数的乘方，我们把 $2 \div 2 \div 2$ 记作 $2^{③}$ ，读作“2 的圈 3 次方”， $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 记作 ${(- 3)}^{④}$ ，读作“一 3 的圈 4 次方”，一般地，把 $\underset{n ↑ a}{\underset{⏟}{a \div a \div a \div \dots \div a}}$ 记作 $a (n)$ ，读作“ $a$ 的圈 $n$ 次方”.

(1)、直接写出计算结果： $2^{③} =$ ， ${(- 3)}^{⑤} =$ ；

(2)、我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
除方 $\to 2^{\oplus} = 2 \div 2 \div 2 \div 2 = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} \to$ 乘方
仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式.
${(- 3)}^{③}$ = ， $5^{⑤}$ = ， ${(- \frac{1}{2})}^{⑥}$ = ，

(3)、由(2)中的算式归纳：有理数 $a (a \neq 0)$ 的圈 $n (n \geq 3)$ 次方写成幂的形式等于；

(4)、计算 $27 \div {(- \frac{1}{3})}^{⑤} + 2^{③} \div {(- 8)}^{- 1} - {(- 3)}^{3}$ .

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4、计算题：

(1)、 $(1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5}) (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}) - (1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6}) (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$ ）

(2)、 $\frac{2024}{4 \times 8} + \frac{2024}{8 \times 12} + \frac{2024}{12 \times 16} + \dots + \frac{2024}{2016 \times 2020} + \frac{2024}{2020 \times 2024}$ .

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5、已知关于 $x$ 的绝对值方程 $2 || x - 1 |- 2| = a$ 有三个解，则 $a =$ .

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6、若 $a 、 b 、 c$ 为整数，且 ${|a - b|}^{21} + {|c - a|}^{2021} = 1$ ，则 $|a - b|$ $+ |b - c| + |c - a| =$ .

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7、老师规定 $[x)$ 表示大于 $x$ 的最小整数，如： $[3) = 4$ ， $[- 1.2) = - 1$ ，则下列结论中正确的有(填序号).
① $[0) = 0;$ ② $[x) - x$ 的最小值是 0，
③ $[x) - x$ 的最大值是 1； ④存在有理数 $x$ ，使 $[x] - x = 0.5$ 成立.

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8、如图是用黑白两种颜色的正六边形拼成的图案，按此规律，第 $n$ ( $n$ 为正整数)个图案中白色正六边形比黑色正六边形多个.(用含 $n$ 的代数式表示)

第 1 个图案第 2 个图案第 3 个图案

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9、在长方形 $A B C D$ 中放入 3 个正方形如图所示，若 $A I = C J$ ， $M N = P Q$ ，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和( )

A、 $B F$ B、 $E H$ C、AB D、 $B C$

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10、若 $x 、 y 、 z$ 为互不相等的正整数，且 $x y^{2} z^{3} = 2250$ ，则 $x$ $+ y + z$ 的结果有( )

A、5 种 B、6 种 C、7 种 D、8 种

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11、如果 $M = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \dots \times \frac{97}{98} \times \frac{99}{100}, N = |- \frac{1}{10}|$ ，那么 $M$ 与 $N$ 的大小关系是( )

A、 $M < N$ B、 $M = N$ C、 $M > N$ D、 $M^{2} = N^{2}$

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12、如图，已知数轴上点 $A, B, C$ 所对应的数 $a, b, c$ 都不为 0，且 $C$ 是 $A B$ 的中点，如果 $|a + b| - |a - 2 c| + |b - 2 c| - |a + b - 2 c| = 0$ ，则原点 $O$ 的大致位置在( )

A、 $A$ 的左边 B、 $A$ 与 $C$ 之间 C、 $C$ 与 $B$ 之间 D、 $B$ 的右边

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13、小明在某月的日历上圈出三个数 $a, b, c$ ，并求出它们的和是 42，则这三个数在日历中的位置不可能的是( )

A、 B、 C、 D、

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于直线 $l_{1}$ ： $y = k_{1} x$ 和直线 $l_{2}$ ： $y = k_{2} x$ ，在 $l_{1}$ 上取一点 $A$ ，在 $l_{2}$ 上取一点 $B$ ，若 $O A = m$ ， $O B = n$ ，以 $O A$ ， $O B$ 为邻边作平行四边形 $O A C B$ ，则平行四边形 $O A C B$ 为【 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ； $m$ ， $n$ 】的相关平行四边形， $∠ A O B$ 称为【 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ； $m$ ， $n$ 】的相关角， $O A$ 的对边 $B C$ 称为【 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ； $m$ ， $n$ 】的相关对边．特别地，当 $k = 0$ 时，直线 $y = k x$ ，即直线 $y = 0$ ，代表x轴．
例如：如图， $l_{1}$ ： $y = \frac{1}{3} x$ ， $l_{2}$ ： $y = 2 x$ ， $O A = 4$ ， $O B = 6$ ，则平行四边形 $O A C B$ 为【 $\frac{1}{3}$ ， $2$ ； $4$ ， $6$ 】的相关平行四边形， $∠ A O B$ 为【 $\frac{1}{3}$ ， $2$ ； $4$ ， $6$ 】的相关角， $O A$ 的对边 $B C$ 为【 $\frac{1}{3}$ ， $2$ ； $4$ ， $6$ 】的相关对边．

(1)、若平行四边形 $O A C B$ 是【 $0$ ， $\sqrt{3}$ ； $1$ ， $2$ 】的相关平行四边形，则【 $0$ ， $\sqrt{3}$ ； $1$ ， $2$ 】的相关角的度数是 $______°$ ；

(2)、若平行四边形 $O D E F$ 是【 $1$ ， $- 1$ ； $m$ ， $n$ 】的相关平行四边形，当点 $(4, - 3)$ 在【 $1$ ， $- 1$ ； $m$ ， $n$ 】的相关对边上时，求 $n$ 的值；

(3)、当【 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ； $m$ ， $m$ 】的相关对边与【 $k_{1}$ ， $k_{3}$ ； $m$ ， $m$ 】（其中 $k_{2} \neq k_{3}$ ）的相关对边都经过点 $(1, 5)$ 时，直接写出 $m$ 的取值范围．

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15、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ，点 $E$ 为正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上一动点．

(1)、如图1，过点 $E$ 作 $E F ⊥ E B$ 交边 $C D$ 于点 $F$ ，当点 $F$ 在边 $C D$ 上时，求出 $E F$ 与 $B E$ 的大小关系并证明；

(2)、如图2，在（1）的条件下，过点F作 $F G ⊥ A C$ ，垂足为点G ，在点 $E$ 运动的过程中， $E G$ 的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明理由．

(3)、如图3，若点 $M$ 是射线 $C D$ 上的一个动点，连接 $B E$ ， $B M$ ，且始终满足 $C M = 2 A E$ ，设 $t = 2 B E + B M$ ，求 $t^{2}$ 的最小值．

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16、如图，在平面直角坐标系中， $A O = 8$ ， $B O = 6$ ，点C在 $O A$ 上，点D在 $O B$ 上， $O C = 2$ ，分别连接 $B C ， A D$ 交于F点．若 $∠ B F D = 45 °$ ，则F的坐标为．

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17、如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α$ ，点D在 $△ A B C$ 内部，且使得 $∠ A B D = ∠ B A D = \frac{α}{2} - 30 °$ ．则 $∠ A C D$ 的度数为．

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18、根据如图所示的部分函数图象，可得不等式 $a x + b > m x + n$ 的解集为．

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19、如图1，函数 $y = \frac{1}{3} x + 2$ 与x轴交于点A ，与y轴交于点B ，点C与点A关于y轴对称．

(1)、求直线的函数解析式；

(2)、设点 $M$ 是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线 $A B$ 于点Q ，交直线 $B C$ 于点P ．
①若 $△ P Q B$ 的面积为 $\frac{4}{3}$ ，求点M的坐标．
②连接 $B M$ ，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P ，使 $∠ B M P = ∠ B A C$ ，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．

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20、如图， $▱ A B C D$ 中，O是对角线 $A C$ 的中点，过点O作直线分别交 $A B ， C D$ 于点E ， F ，交 $A D ， C B$ 的延长线分别于点 G ， H ，连接 $A H ， C G$ ．

(1)、求证：四边形 $A H C G$ 是平行四边形；

(2)、当 $O E ⊥ A B$ 时，且 $A E = 5$ ， $D F = 3$ ， $E F = 6$ ，求 $▱ A B C D$ 的面积．

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