2016-2017学年上海市浦东新区四校联考高二上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2016-12-28 类型：期中考试

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一、填空题：

1. 二元一次方程组 ${\begin{matrix} 2 x + 3 y = 1 \\ x - 2 y = - 1 \end{matrix}$ 的增广矩阵是．

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2. 若a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄四个数成等比数列，则 $| \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} \end{matrix} |$ = ．

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3. 无穷等比数列{a_n}的通项公式为a_n=3×（﹣ $\frac{1}{2}$ ）ⁿ^﹣¹ ，则其所有项的和为．

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4. 已知三阶行列式 $| \begin{matrix} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \end{matrix} |$ ，则元素3的代数余子式的值为．

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5. 已知矩阵A= $(\begin{matrix} 1 2 & - 1 \\ 2 2 & - 3 \end{matrix})$ ，矩阵B= $(\begin{matrix} a \\ - 2 a \\ 3 a \end{matrix})$ ．若AB= $(\begin{matrix} 12 \\ 22 \end{matrix})$ ，则a= ．

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6. 数列{a_n}的通项公式a_n= ${\begin{matrix} {(\frac{1}{3})}^{n} ， 1 \leq n \leq 100 \\ \frac{2 n + 1}{5 n - 1} ， n > 100 \end{matrix}$ ，则 $\lim_{n \to \infty}$ a_n= ．

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7. 已知f（n）= $\frac{1}{n + 1}$ + $\frac{1}{n + 2}$ + $\frac{1}{n + 3}$ +…+ $\frac{1}{3 n}$ （n∈N^*），则f（1）= ．

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8. 已知数列{a_n}满足a_n=n²+λn（λ∈R），且a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n＜a_n₊₁＜…，则λ的取值范围是．

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9. 若数列{a_n}满足a_n₊₁= ${\begin{matrix} 2 a_{n} ， 0 \leq a_{n} < \frac{1}{2} \\ 2 a_{n} - 1 ， \frac{1}{2} \leq a_{n} < 1 \end{matrix}$ ，n∈N*），若a₁= $\frac{6}{7}$ ，则a₂₄的值为．

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10. 在等比数列{a_n}中，前n项和S_n=2ⁿ+a（n∈N*），则a= ．

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11. 数列{a_n}满足a₁=4，S_n+S_n₊₁= $\frac{5}{3}$ a_n₊₁ ，则a_n= ．

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12. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2⁵^﹣ⁿ ，数列{b_n}的通项公式为b_n=n+k，设c_n= ${\begin{matrix} b_{n} ， a_{n} \leq b_{n} \\ a_{n} ， a_{n} > b_{n} \end{matrix}$ 若在数列{c_n}中，c₅≤c_n对任意n∈N^*恒成立，则实数k的取值范围是．

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二、选择题

13. 当m≠﹣1时，下列关于方程组 ${\begin{matrix} m x + y = m + 1 \\ x + m y = 2 m \end{matrix}$ 的判断，正确的是（）

A、方程组有唯一解 B、方程组有唯一解或有无穷多解 C、方程组无解或有无穷多解 D、方程组有唯一解或无解

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14. 下列四个命题中，正确的是（）

A、若 $\lim_{n \to \infty} a_{n}^{2}_{n} = A^{2}$ ，则 $\lim_{n \to \infty}$ a_n=A B、若a_n＞0， $\lim_{n \to \infty} a_{n} = A$ ，则A＞0 C、若 $\lim_{n \to \infty} a_{n} = A$ ，则 $\lim_{n \to \infty} a_{n}^{2}_{n} = A^{2}$ D、若 $\lim_{n \to \infty}$ a_n=A，则 $\lim_{n \to \infty} n a_{n} = n A$

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15. 数列{a_n}为等比数列，则下列结论中不正确的是（）

A、 ${a_{n}^{2}}$ 是等比数列 B、{a_n•a_n₊₁}是等比数列 C、 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等比数列 D、{lga_n}是等差数列

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16. 无穷等差数列{a_n}的各项均为整数，首项为a₁、公差为d，S_n是其前n项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题：
①对任意满足条件的d，存在a₁ ，使得99一定是数列{a_n}中的一项；
②存在满足条件的数列{a_n}，使得对任意的n∈N^* ， S_2n=4S_n成立；
③对任意满足条件的d，存在a₁ ，使得30一定是数列{a_n}中的一项．
其中正确命题的序号为（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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三、解答题

17. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₃=16，a₇=24．

(1)、求通项a_n；

(2)、若S_n=312，求项数n．

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18. 设首项为2，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为S_n ，且T_n=a₂+a₄+a₆+…+a_2n ，

(1)、求S_n；

(2)、求 $\lim_{n \to \infty} \frac{S_{n}}{T_{n}}$ ．

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19. 已知数列{a_n}满足a₁= $\frac{1}{8}$ ，a_n= $\frac{a_{n} - 1}{1 - 2 a_{n - 1}}$ （n≥2，n∈N*），设b_n= $\frac{1}{a_{n}}$ ，

(1)、求证：数列{b_n}是等差数列；

(2)、设S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|（n∈N^*），求S_n ．

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20. 已知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=2n﹣1（n∈N^*），且a₂ ， a₅分别是等比数列{b_n}的第二项和第三项，设数列{c_n}满足c_n= ${\begin{matrix} a_{n} ， n 为奇数 \\ b_{n} ， n 为偶数 \end{matrix}$ ，{c_n}的前n项和为S_n

(1)、求数列{b_n}的通项公式；

(2)、是否存在m∈N^* ，使得S_m=2017，并说明理由

(3)、求S_n ．

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21. 在等差数列{a_n}中，a₁+a₃=10，d=3．令b_n= $\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列{b_n}的前n项和为T_n ．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、求数列{b_n}的前n项和T_n；

(3)、是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁ ， T_m ， T_n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

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