2016-2017学年四川省成都市龙泉二中高三上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-12-28 类型：期中考试

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一、选择题

1. 若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足：| $\vec{a}$ |=1，（ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{a}$ ，（2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{b}$ ，则| $\vec{b}$ |=（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. 设a、b都是不等于1的正数，则“3^a＞3^b＞3”是“log_a3＜log_b3”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）

A、若m∥α，m∥β，则α∥β B、若m∥α，α∥β，则m∥β C、若m⊂α，m⊥β，则α⊥β D、若m⊂α，α⊥β，则m⊥β

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4. 已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地作10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l₁和l₂ ．已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t．那么下列说法正确的是（　　）

A、直线l₁和l₂相交，但是交点未必是点（s，t） B、直线l₁和l₂有交点（s，t） C、直线l₁和l₂由于斜率相等，所以必定平行 D、直线l₁和l₂必定重合

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6. 已知（x²﹣ $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ）ⁿ的展开式中第三项与第五项的系数之比为 $\frac{3}{14}$ ，则展开式中常数项是（）

A、﹣1 B、1 C、﹣45 D、45

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7. 若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是 $\frac{5}{6}$ ，则输入的N的值可以等于（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $\frac{b}{\sqrt{3} \cos B}$ = $\frac{a}{\sin A}$ ，则cosB=（）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0），M，N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM，PN斜率分别为k₁、k₂ ，若k₁•k₂= $\frac{5}{4}$ ，则双曲线离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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10. 已知f（x）=3sinx﹣πx，命题p：∀x∈（0， $\frac{π}{2}$ ），f（x）＜0，则（）

A、p是假命题，￢p：∀x∈（0， $\frac{π}{2}$ ），f（x）≥0 B、p是假命题，￢p：∃x₀∈（0， $\frac{π}{2}$ ），f（x₀）≥0 C、p是真命题，￢p：∀x∈（0， $\frac{π}{2}$ ），f（x）＞0 D、p是真命题，￢p：∃x₀∈（0， $\frac{π}{2}$ ），f（x₀）≥0

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11. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2， $\frac{2}{a} + \frac{1}{3 b}$ 的最小值为（　　）

A、 $\frac{32}{3}$ B、 $\frac{28}{3}$ C、 $\frac{14}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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12. 函数f（x）= $\frac{\cos (π x)}{x^{2}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 已知曲线C：x=﹣ $\sqrt{4 - y^{2}}$ ，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得 $\vec{A P} + \vec{A Q} = \vec{0}$ ，则m的取值范围为．

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14. 若集合A={﹣4，2a﹣1，a²}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是．

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15. 定义在R上奇函数的f（x）周期为2，当0＜x＜1时，f（x）=4^x ，则f（﹣ $\frac{5}{2}$ ）+f（1）= ．

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16. 已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x₁ ， x₂∈[0，2]且x₁≠x₂时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ＜0，给出下列四个命题：
①f（﹣2）=0；
②直线x=﹣4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[4，6]上为增函数；
④函数y=f（x）在（﹣8，6]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为．

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三、解答题

17. 已知等差数列{a_n}的公差d＞0，且a₁•a₆=11，a₃+a₄=12．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、求数列{ $\frac{a_{n + 1} - 2 a_{n}}{2^{n + 1}}$ }的前n项和T_n ．

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18. 已知函数f（x）=kx³+3（k﹣1）x²﹣k²+1在x=0，x=4处取得极值．

(1)、求常数k的值；

(2)、求函数f（x）的单调区间与极值；

(3)、设g（x）=f（x）+c，且∀x∈[﹣1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范围．

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19. 四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．

(1)、证明：平面PBE⊥平面PAB；

(2)、求直线PC与平面PBE所成的角的正弦值．

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20. 如图，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、求 $\vec{T M} \cdot \vec{T N}$ 的最小值，并求此时圆T的方程；

(3)、设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．

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21. 设函数f（x）=﹣2cosx﹣x+（x+1）ln（x+1），g（x）=k（x²+ $\frac{2}{x}$ ）．其中k≠0．

(1)、讨论函数g（x）的单调区间；

(2)、若存在x₁∈（﹣1，1]，对任意x₂∈（ $\frac{1}{2}$ ，2]，使得f（x₁）﹣g（x₂）＜k﹣6成立，求k的取值范围．

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22. 已知曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 \cos θ \\ y = \sqrt{3} \sin θ \end{matrix}$ （其中θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0．

(1)、分别写出曲线C₁与曲线C₂的普通方程；

(2)、若曲线C₁与曲线C₂交于A，B两点，求线段AB的长．

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23. 选修4﹣5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x﹣4|+|x+2|

(1)、求函数y=f（x）的最小值；

(2)、若不等式f（x）≥|a+4|﹣|a﹣3|恒成立，求a的取值范围．

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