2016-2017学年山东省临沂市高三上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-12-28 类型：期中考试

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一、选择题

1. 设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，集合M真子集的个数为（）

A、32 B、31 C、16 D、15

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2. 若点（sin $\frac{2 π}{3}$ ，cos $\frac{2 π}{3}$ ）在角α的终边上，则sinα的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 已知f（x）=sin²（x+ $\frac{π}{4}$ ），若a=f（lg5），b=f（lg $\frac{1}{5}$ ），则（）

A、a+b=0 B、a﹣b=0 C、a+b=1 D、a﹣b=1

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4. 下列说法正确的是（）

A、命题“若a≥b，则a²≥b²”的逆否命题为“若a²≤b² ，则a≤b” B、“x=1”是“x²﹣3x+2=0”的必要不充分条件 C、若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 D、对于命题p：∀x∈R，x²+x+1＞0，则￢p：∃x₀∈R，x₀²+x₀+1≤0

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5. 已知等差数列{a_n}中，a₅+a₇= $\int_{0}^{π}$ sinxdx，则a₄+2a₆+a₈的值为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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6. 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使 $\vec{D E}$ =2 $\vec{E F}$ ，则 $\vec{A F}$ • $\vec{B C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{11}{8}$ D、 $- \frac{5}{8}$

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7. 函数y= $\sqrt{a - a^{x}}$ （a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log_a $\frac{5}{6}$ +log_a $\frac{48}{5}$ =（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知函数f（x）=x﹣ $\sqrt{x}$ ﹣1，g（x）=x+2^x ， h（x）=x+lnx，零点分别为x₁ ， x₂ ， x₃ ，则（　　）

A、x₁＜x₂＜x₃ B、x₂＜x₁＜x₃ C、x₃＜x₁＜x₂ D、x₂＜x₃＜x₁

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9. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤ $\frac{π}{2}$ ），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，若f（x）＞1对∀x∈（﹣ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{π}{3}$ ）恒成立，则φ的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ B、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ C、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \log_{2} (2 - x) ， 0 \leq x ＜ k \\ x^{3} - 3 x^{2} + 3 ， k \leq x \leq a \end{matrix}$ ．若存在实数k使得函数f（x）的值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是（）

A、 $[\frac{3}{2} ， 1 + \sqrt{3}]$ B、 $[2 ， 1 + \sqrt{3}]$ C、[1，3] D、[2，3]

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二、填空题

11. 已知向量 $\vec{a}$ =（m，m﹣1）， $\vec{b}$ =（2，1），且 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则| $\vec{a}$ |= ．

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12. 已知 $\cos (75^{0} + α) = \frac{1}{3}$ ，则cos（30°﹣2α）的值为．

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13. 函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，满足f（x+1）+f（x）=0，且当0＜x＜1时，f（x）=2^x ，则f（﹣ $\frac{5}{2}$ ）+f（4）= ．

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14. 在等差数列{a_n}中，a₄=5，a₇=11，设b_n=（﹣1）ⁿa_n ，则数列{b_n}的前101项之和S₁₀₁= ．

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15. 若f'（x）是f（x）的导函数，f'（x）＞2f（x）（x∈R），f（ $\frac{1}{2}$ ）=e，则f（lnx）＜x²的解集为．

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三、解答题

16. 在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．

(1)、若点B（﹣ $\frac{3}{5}$ ， $\frac{4}{5}$ ），求tan（ $\frac{π}{4}$ ﹣θ）的值；

(2)、若 $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ ， $\vec{O B}$ • $\vec{O C}$ = $\frac{23}{13}$ ，求cos（ $\frac{π}{3}$ +θ）的值．

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17. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ sin（ωx﹣ $\frac{π}{6}$ ）+b（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为 $\frac{π}{4}$ ，当x∈[0， $\frac{π}{4}$ ]时，f（x）的最大值为1．

(1)、求函数f（x）的解析式；

(2)、将函数f（x）的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到函数g（x）图象，若g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0， $\frac{π}{3}$ ]上恒成立，求实数m的取值范围．

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18. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知S₂=6，a_n₊₁=4S_n+1，n∈N^* ．

(1)、求通项a_n；

(2)、设b_n=a_n﹣n﹣4，求数列{|b_n|}的前n项和T_n ．

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19. 已知a∈R，函数f（x）=2x³﹣3（a+1）x²+6ax．

(1)、若函数f（x）在x=3处取得极值，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

(2)、若a＞ $\frac{1}{2}$ ，函数y=f（x）在[0，2a]上的最小值是﹣a² ，求a的值．

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20. 如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为主题游乐区，四边形区域为BCDE为休闲游乐区，AB、BC，CD，DE，EA，BE为游乐园的主要道路（不考虑宽度）．∠BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD=3km．

(1)、求道路BE的长度；

(2)、求道路AB，AE长度之和的最大值．

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21. 已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，a∈R．

(1)、求函数f（x）的单调区间；

(2)、当x＞1时，f（x﹣1）≤ $\frac{\ln x}{x + 1}$ 恒成立，求a的取值范围．

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