2016-2017学年辽宁省六校协作体高三上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-12-28 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知R是实数集， $M = {x | \frac{2}{x} ＜ 1} ， N = {y | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则N∩∁_RM=（）

A、（1，2） B、[0，2] C、∅ D、[1，2]

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2. 命题“∃x₀∈R，x³﹣x²+1＞0”的否定是（）

A、∀x∈R，x³﹣x²+1≤0 B、∃x₀∈R，x³﹣x²+1＜0 C、∃x₀∈R，x³﹣x²+1≤0 D、不存在x∈R，x³﹣x²+1＞0

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3. i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=1﹣i，则复数z的实部与虚部的和是（）

A、0 B、﹣1 C、1 D、2

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4. 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线， $\vec{A B}$ =（2，4）， $\vec{A C}$ =（1，3），则 $\vec{B D}$ 等于（）

A、（2，4） B、（3，5） C、（﹣3，﹣5） D、（﹣2，﹣4）

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5. 设P是不等式组 ${\begin{matrix} x \geq 0 ， y \geq 0 \\ x - y \geq - 1 \\ x + y \leq 3 \end{matrix}$ 表示的平面区域内的任意一点，向量 $\vec{m}$ =（1，1）， $\vec{n}$ =（2，1），若 $\vec{O P}$ =λ $\vec{m}$ +μ $\vec{n}$ （λ，μ为实数），则λ﹣μ的最大值为（）

A、4 B、3 C、﹣1 D、﹣2

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6. 若 $\frac{\cos 2 α}{\sin (α - \frac{π}{4})} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则cosα+sinα的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

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7. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（）

A、V=32，n=2 B、 $V = \frac{64}{3} ， n = 3$ C、 $V = \frac{32}{3} ， n = 6$ D、V=16，n=4

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8. 已知等差数列{a_n}满足a₃+a₁₃﹣a₈=2，则{a_n}的前15项和S₁₅=（）

A、10 B、15 C、30 D、60

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9. 等比数列{a_n}中，a₃=6，前三项和S₃= $\int_{0}^{3}$ 4xdx，则公比q的值为（）

A、1 B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、1或﹣ $\frac{1}{2}$ D、﹣1或﹣ $\frac{1}{2}$

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10. 已知x＞0，由不等式x+ $\frac{1}{x}$ ≥2 $\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ =2，x+ $\frac{4}{x^{2}}$ = $\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{4}{x^{2}}$ ≥3 $\sqrt[3]{\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{4}{x^{2}}}$ =3，…，可以推出结论：x+ $\frac{a}{x^{n}}$ ≥n+1（n∈N^*），则a=（）

A、2n B、3n C、n² D、nⁿ

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11. 对正整数n，有抛物线y²=2（2n﹣1）x，过P（2n，0）任作直线l交抛物线于A_n ， B_n两点，设数列{a_n}中，a₁=﹣4，且a_n= $\frac{\vec{O A_{n}} \cdot \vec{O B_{n}}}{n - 1}$ （其中n＞1，n∈N），则数列{a_n}的前n项和T_n=（）

A、4n B、﹣4n C、2n（n+1） D、﹣2n（n+1）

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12. 已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的导数f′（x），f′（0）＞0，且f（x）的值域为[0，+∞），则 $\frac{f (1)}{f^{'} (0)}$ 的最小值为（）

A、3 B、 $\frac{5}{2}$ C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题

13. 设曲线y= $\frac{x + 1}{x - 1}$ 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= ．

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14. 若 $\int_{0}^{1}$ （2x+k）dx=2，则k的值为．

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15. 已知α、β是三次函数f（x）= $\frac{1}{3}$ x³+ $\frac{1}{2}$ ax²+2bx（a，b∈R）的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则 $\frac{b - 2}{a - 1}$ 的取值范围是．

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16. 连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别为2 $\sqrt{7}$ 和4 $\sqrt{3}$ ，M，N分别是AB，CD的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：
①弦AB，CD可能相交于点M；
②弦AB，CD可能相交于点N；
③MN的最大值是5；
④MN的最小值是1；
其中所有正确命题的序号为．

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三、解答题

17. 已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x．

(1)、求f（ $\frac{π}{12}$ ）的值；

(2)、求f（x）的递减区间．

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18. 在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项．

(1)、求∠B的大小；

(2)、若a+c= $\sqrt{10} ， b = 2$ ，求△ABC的面积．

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19. 已知数列{a_n}的首项a₁=2，且a_n=2a_n_﹣₁﹣1（n∈N^* ， N≥2）

(1)、求证：数列{a_n﹣1}为等比数列；并求数列{a_n}的通项公式；

(2)、求数列{n•a_n﹣n}的前n项和S_n ．

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20. 如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF $\overset{∥}{=}$ 2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC=2．

(1)、当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC；

(2)、求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；

(3)、是否存在点G满足BF⊥平面AEG？并说明理由．

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21. 已知函数f（x）=x²﹣2|x﹣a|．

(1)、若函数y=f（x）为偶函数，求a的值；

(2)、若a= $\frac{1}{2}$ ，求函数y=f（x）的单调递增区间；

(3)、当a＞0时，若对任意的x∈（0，+∞），不等式f（x﹣1）≤2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 已知函数f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1

(1)、求函数f（x）的单调区间；

(2)、若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；

(3)、证明： $\frac{\ln 2}{3} + \frac{\ln 3}{4} + \frac{\ln 4}{5} + \dots + \frac{\ln n}{n + 1} ＜ \frac{n (n - 1)}{4} (n \in N^{*}$ 且n＞1）

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