2016-2017学年江苏省盐城市高三上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2016-12-28 类型：期中考试

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一、填空题

1. 函数y=2sin（πx+ $\frac{π}{2}$ ）的最小正周期是．

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2. 设向量 $\vec{a}$ =（2，﹣6）， $\vec{b}$ =（﹣1，m），若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则实数m= ．

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3. 命题p：∃x₀∈R，x₀²+2x₀+1≤0是命题（选填“真”或“假”）．

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4. 已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B= ．

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5. 已知函数f（x）=a^x^﹣¹+3（a＞0，且a≠1）的图象一定过定点．

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6. 在等比数列{a_n}中，已知a₁+a₂=1，a₃+a₄=2，则a₉+a₁₀= ．

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7. 若函数f（x）= $\frac{1}{3}$ x³+x²﹣ax+3a在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是．

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8. 已知sinα= $\frac{4}{9} \sqrt{2}$ ，且α为钝角，则cos $\frac{α}{2}$ = ．

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9. 在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角等于．

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10. 已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=e^x+x² ，则曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为．

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11. 若函数f（x）= ${\begin{matrix} \frac{1}{x} ， x ＜ a \\ | x + 1 | ， x \geq a \end{matrix}$ 在区间（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．

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12. 在数列{a_n}中，a₁=﹣2¹⁰¹ ，且当2≤n≤100时，a_n+2a₁₀₂_﹣_n=3×2ⁿ恒成立，则数列{a_n}的前100项和S₁₀₀= ．

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13. 在△ABC中，已知AC=4，C= $\frac{π}{4}$ ，B∈（ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{2}$ ），点D在边BC上，且AD=BD=3，则 $\vec{A B}$ • $\vec{A D}$ = ．

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14. 设函数f（x）=kx²﹣kx，g（x）= ${\begin{matrix} \ln x ， x \geq 1 \\ - x^{3} + (a + 1) x^{2} - a x ， 0 ＜ x ＜ 1 \end{matrix}$ ，若使得不等式f（x）≥g（x）对一切正实数x恒成立的实数k存在且唯一，则实数a的值为．

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二、解答题

15. 设p：实数x满足x²﹣4ax+3a²＜0，其中a＞0； q：实数x满足 $\frac{x - 3}{x - 2}$ ＜0．

(1)、若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；

(2)、若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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16. 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．

(1)、求A，ω，φ的值；

(2)、设θ为锐角，且f（θ）=﹣ $\frac{3}{5} \sqrt{3}$ ，求f（θ﹣ $\frac{π}{6}$ ）的值．

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17. 如图，在四边形ABCD中，| $\vec{A C}$ |=4， $\vec{B A} \cdot \vec{B C}$ =12，E为AC的中点．

(1)、若cos∠ABC= $\frac{12}{13}$ ，求△ABC的面积S_△_ABC；

(2)、若 $\vec{B E}$ =2 $\vec{E D}$ ，求 $\vec{D A}$ • $\vec{D C}$ 的值．

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18. 如图所示，有一块矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG，筝形的顶点A，E，F，G为商业区的四个入口，其中入口F在边BC上（不包含顶点），入口E，G分别在边AB，AD上，且满足点A，F恰好关于直线EG对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区．

(1)、请确定入口F的选址范围；

(2)、设商业区的面积为S₁ ，绿化区的面积为S₂ ，商业区的环境舒适度指数为 $\frac{s_{2}}{s_{1}}$ ，则入口F如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？

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19. 设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．

(1)、若直线y=3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；

(2)、若函数f（x）在[1，e²]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；

(3)、若关于x的方程ln（2x²﹣x﹣3t）+x²﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围．

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20. 若数列{a_n}中的项都满足a_2n_﹣₁=a_2n＜a_2n₊₁（n∈N^*），则称{a_n}为“阶梯数列”．

(1)、设数列{b_n}是“阶梯数列”，且b₁=1，b_2n₊₁=9b_2n_﹣₁（n∈N^*），求b₂₀₁₆；

(2)、设数列{c_n}是“阶梯数列”，其前n项和为S_n ，求证：{S_n}中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；

(3)、设数列{d_n}是“阶梯数列”，且d₁=1，d_2n₊₁=d_2n_﹣₁+2（n∈N^*），记数列{ $\frac{1}{d_{n} d_{n + 2}}$ }的前n项和为T_n ，问是否存在实数t，使得（t﹣T_n）（t+ $\frac{1}{T_{n}}$ ）＜0对任意的n∈N^*恒成立？若存在，请求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

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