2016-2017学年江苏省泰州市泰兴市高三上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2016-12-28 类型：期中考试

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一、填空题

1. 已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁_U（A∪B）= ．

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2. $\cos^{2} \frac{π}{12} - \sin^{2} \frac{π}{12}$ = ．

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3. 函数y=ln（x+1）的定义域是．

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4. 等比数列{a_n}中，若a₅=1，a₈=8，则公比q= ．

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5. 在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为．

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6. 命题“∃x∈R，使x²﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是．

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7. 已知向量 $\vec{a}$ =（cosα，sinα）， $\vec{b}$ =（cosβ，sinβ），且0＜α＜β＜π，则 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ 的夹角为．

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8. 已知函数f（x）=ax³+bx+1且f（m）=6，则f（﹣m）= ．

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9. 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则| $\vec{P A} + \vec{P B}$ |的最小值为．

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10. 若函数f（x）=k•cosx的图象过点P（ $\frac{π}{3}$ ，1），则该函数图象在P点处的切线倾斜角等于．

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11. 设函数y=sin（ϖx+ $\frac{π}{3}$ ）（0＜x＜π），当且仅当x= $\frac{π}{6}$ 时，y取得最大值，则正数ϖ的值为．

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12. 已知函数f（x）对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有 $\frac{f (a) - f (b)}{a - b}$ ＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是．

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13. 设数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}为等比数列．若a₁＜a₂ ， b₁＜b₂ ，且b_i=a_i²（i=1，2，3），则数列{b_n}的公比为．

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14. 已知 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 是非零不共线的向量，设 $\vec{O C}$ = $\frac{1}{r + 1}$ $\vec{O A}$ + $\frac{r}{r + 1}$ $\vec{O B}$ ，定义点集M={K| $\frac{\vec{K A} \cdot \vec{K C}}{| \vec{K A} |}$ = $\frac{\vec{K B} \cdot \vec{K C}}{| \vec{K B} |}$ }，当K₁ ， K₂∈M时，若对于任意的r≥2，不等式| $\vec{K_{1} K_{2}}$ |≤c| $\vec{A B}$ |恒成立，则实数c的最小值为．

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二、解答题

15. 已知集合A={x|3≤3^x≤27}，B={x|log₂x＞1}．

(1)、求（∁_RB）∪A；

(2)、已知集合C={x|1＜x＜a}，若 C⊆A，求实数a的取值范围．

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16. 已知函数f（x）= $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ ．

(1)、证明函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；

(2)、若x∈[0，2]，求函数f（x）的值域．

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17. 在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．

(1)、若 $| \vec{A C} | = | \vec{B C} |$ ，且α∈（0，π），求角α的值；

(2)、若 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{2 \sin^{2} α + \sin 2 α}{1 + \tan α}$ 的值．

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18. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)、当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；

(2)、当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

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19. 设常数a≥0，函数f（x）=x﹣ln²x+2alnx﹣1

(1)、令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；

(2)、求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；

(3)、求证：当x＞1时，恒有x＞ln²x﹣2alnx+1．

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20. 设数列{a_n}的各项均为正数．若对任意的n∈N^* ，存在k∈N^* ，使得a_n₊_k²=a_n•a_n₊_2k成立，则称数列{a_n}为“J_k型”数列．

(1)、若数列{a_n}是“J₂型”数列，且a₂=8，a₈=1，求a_2n；

(2)、若数列{a_n}既是“J₃型”数列，又是“J₄型”数列，证明：数列{a_n}是等比数列．

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