2016-2017学年江苏省苏北四市联考高三上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2016-12-28 类型：期中考试

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一、填空题

1. 已知全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，则∁_UA= ．

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2. 已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为．

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3. 函数y=cos（ $\frac{1}{2}$ x+ $\frac{π}{6}$ ）的最小正周期为．

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4. 如图是一个算法的流程图，则输出x的值为．

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5. 某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取人．

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6. 若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为．

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7. 设实数x，y满足 ${\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + y \leq 1 \\ x + 2 y \geq 1 \end{matrix}$ ，则3x+2y的最大值为．

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8. 设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且a₂=3，S₄=16，则S₉的值为．

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9. 将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是．

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10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B₁ ， B₂分别为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B₂F⊥AB₁ ，则椭圆C的离心率是．

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11. 若tanβ=2tanα，且cosαsinβ= $\frac{2}{3}$ ，则sin（α﹣β）的值为．

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12. 已知正数a，b满足 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b}$ = $\sqrt{a b}$ ﹣5，则ab的最小值为．

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13. 已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的取值范围是．

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14. 已知函数f（x）=|x²﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是．

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二、解答题

15. 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3．

(1)、求角A的大小；

(2)、若c=3，求b的长．

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16. 如图，在正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，已知D，E分别为BC，B₁C₁的中点，点F在棱CC₁上，且EF⊥C₁D．求证：

(1)、直线A₁E∥平面ADC₁；

(2)、直线EF⊥平面ADC₁ ．

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17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x²+y²﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）

(1)、若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；

(2)、在圆C上是否存在点P，使得PA²+PB²=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．

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18. 某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．

(1)、如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；

(2)、如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．

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19. 在数列{a_n}中，已知a₁= $\frac{1}{3}$ ，a_n₊₁= $\frac{1}{3}$ a_n﹣ $\frac{2}{3^{n + 1}}$ ，n∈N^* ，设S_n为{a_n}的前n项和．

(1)、求证：数列{3ⁿa_n}是等差数列；

(2)、求S_n；

(3)、是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使S_p ， S_q ， S_r成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．

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20. 设函数f（x）=lnx﹣ax²+ax，a为正实数．

(1)、当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)、求证：f（ $\frac{1}{a}$ ）≤0；

(3)、若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．

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21. 如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB²=BE•BD﹣AE•AC．

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22. 求椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4}$ =1在矩阵A= $[\begin{matrix} \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}]$ 对应的变换作用下所得的曲线的方程．

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23. 已知曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+ $\frac{π}{3}$ ）=3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程．

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24. 设c＞0，|x﹣1|＜ $\frac{c}{3}$ ，|y﹣1|＜ $\frac{c}{3}$ ，求证：|2x+y﹣3|＜c．

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25. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．

(1)、求异面直线AP，BM所成角的余弦值；

(2)、点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为 $\frac{4}{5}$ ，求λ的值．

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26. 设n∈N^* ， f（n）=3ⁿ+7ⁿ﹣2．

(1)、求f（1），f（2），f（3）的值；

(2)、证明：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．

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