2016-2017学年湖北省华中师大一附中高三上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-12-28 类型：期中考试

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一、选择题

1. 集合A={y|y=2^x^﹣¹}，B={x||2x﹣3|≤3}，则A∩B=（）

A、{x|0＜x≤3} B、{x|1≤x≤3} C、{x|0≤x≤3} D、{x|1＜x≤3}

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2. 设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z在复平面内对应的点在（）

A、第四象限 B、第三象限 C、第二象限 D、第一象限

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3. 数列{a_n}中，a₁=1，a_n₊₁=2a_n﹣2ⁿ ，则a₁₇（）

A、﹣15×2¹⁶ B、15×2¹⁷ C、﹣16×2¹⁶ D、16×2¹⁷

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4. sinθ+cosθ=﹣ $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，θ是第二象限的角，则tanθ（）

A、﹣3 B、﹣2 C、﹣ $\frac{1}{3}$ D、﹣ $\frac{1}{2}$

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5. 已知向量 $\vec{a}$ =（2cos²x， $\sqrt{3}$ ）， $\vec{b}$ =（1，sin2x）．设f（x）= $\vec{a}$ • $\vec{b}$ ，若f（α﹣ $\frac{π}{3}$ ）=2，α∈[ $\frac{π}{2}$ ，π]，则sin（2α﹣ $\frac{π}{6}$ ）=（）

A、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、﹣ $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 两个单位向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 的夹角为60°，点C在以O圆心的圆弧AB上移动， $\vec{O C}$ =x $\vec{O A}$ +y $\vec{O B}$ ，则x+y的最大值为（）

A、1 B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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7. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} \frac{3}{| x - a |} ， x \neq a \\ a ， x = a \end{matrix}$ ，若函数y=f（x）﹣4有3个零点，则a的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 下列四个命题中，正确的个数是（）
①命题“存在x∈R，x²﹣x＞0”的否定是“对于任意的x∈R，x²﹣x＜0”；
②若函数f（x）在（2016，2017）上有零点，则f（2016）•f（2017）＜0；
③在公差为d的等差数列{a_n}中，a₁=2，a₁ ， a₃ ， a₄成等比数列，则公差d为﹣ $\frac{1}{2}$ ；
④函数y=sin2x+cos2x在[0， $\frac{π}{2}$ ]上的单调递增区间为[0， $\frac{π}{8}$ ]．

A、0 B、1 C、2 D、3

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9. 若 $\frac{π}{2}$ ＜θ＜π，P=3^cos^θ ， Q=（cosθ）³ ， R=（cosθ） $^{\frac{1}{3}}$ ，则P，Q，R的大小关系为（）

A、R＜Q＜P B、Q＜R＜P C、P＜Q＜R D、R＜P＜Q

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10. 实数x，y满足 ${\begin{matrix} x - y + 2 \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \\ y \geq 1 \end{matrix}$ ，若目标函数z=mx+y（m＞0）的最大值为5，则m的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、5

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11. 定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（2﹣x），f'（x）（x﹣1）＞0，则对任意的x₁＜x₂ ， f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜2的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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12. 已知函数y=f（x）的定义域的R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立，若数列{a_n}满足f（a_n₊₁）f（ $\frac{1}{1 + a_{n}}$ ）=1（n∈N^*），且a₁=f（0），则下列结论成立的是（）

A、f（a₂₀₁₃）＞f（a₂₀₁₆） B、f（a₂₀₁₄）＞f（a₂₀₁₇） C、f（a₂₀₁₆）＜f（a₂₀₁₅） D、f（a₂₀₁₃）＞f（a₂₀₁₅）

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二、填空题

13. 关于x的不等式 ${\begin{matrix} x \leq 0 \\ x + y \geq 0 \\ k x - y + 1 \geq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域是等腰直角三角形，则该三角形的面积为．

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14. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos² $\frac{A}{2}$ ﹣cos2（B+C）= $\frac{7}{2}$ ，若a=2，则△ABC的面积的最大值是．

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15. 已知x＞1，y＞1，且 $\frac{1}{4}$ lnx， $\frac{1}{4}$ ，lny成等比数列，则xy的最小值为．

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16. 已知函数f（x）=m（x+m+5），g（x）=2^x﹣2，若任意的x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知f（x）=（ $\sqrt{3}$ xinωx+cosωx）cosωx﹣ $\frac{1}{2}$ ，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期为4π．

(1)、求函数f（x）的单调递增区间；

(2)、锐角三角形ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

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18. 如图所示，△ABC中，D为AC的中点，AB=2，BC= $\sqrt{7}$ ，∠A= $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求cos∠ABC的值；

(2)、求BD的值．

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19. 数列{a_n}的前n项和S_n=3n²+2n+1．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、令b_n=a_n2ⁿ ，求{b_n}的前n项和T_n ．

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20. 已知函数f（x）= $\frac{a x}{1 + x^{2}}$ （a≠0）．

(1)、试讨论y=f（x）的极值；

(2)、若a＞0，设g（x）=x²e^mx ，且任意的x₁ ， x₂∈[0，2]，f（x₁）﹣g（x₂）≥﹣1恒成立，求m的取值范围．

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21. 已知函数f（x）=x²﹣ax+2lnx（其中a是实数）．

(1)、求f（x）的单调区间；

(2)、若设2（e+ $\frac{1}{e}$ ）＜a＜ $\frac{20}{3}$ ，且f（x）有两个极值点x₁ ， x₂（x₁＜x₂），求f（x₁）﹣f（x₂）取值范围．（其中e为自然对数的底数）．

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22. 已知f（x）=|x﹣1|﹣|2x+3|．

(1)、解不等式f（x）＞2；

(2)、关于x的不等式f（x）≤ $\frac{3}{2}$ a²﹣a的解集为R，求a的取值范围．

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