2016-2017学年江西省抚州市临川十中高二上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-12-28 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知命题P：“∀x∈R，x²+2x+3≥0”，则命题P的否定为（）

A、∀x∈R，x²+2x+3＜0 B、∃x∈R，x²+2x+3≥0 C、∃x∈R，x²+2x+3＜0 D、∃x∈R，x²+2x+3≤0

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2. 设抛物线y²=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为（）

A、x=﹣4 B、x=﹣3 C、x=﹣2 D、x=﹣1

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3. 与向量 $\vec{a}$ =（12，5）平行的单位向量为（）

A、 $(\frac{12}{13} ， - \frac{5}{13})$ B、 $(- \frac{12}{13} ， - \frac{5}{13})$ C、 $(\frac{12}{13} ， \frac{5}{13})$ 或 $(- \frac{12}{13} ， - \frac{5}{13})$ D、 $(- \frac{12}{13} ， \frac{5}{13})$ 或 $(\frac{12}{13} ， - \frac{5}{13})$

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4. 对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）

A、如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α B、如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线 C、如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n D、如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

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5. 下列各命题中正确的是（）
①若命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题；
②命题“∃x∈R，x²+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x²+1≤3x”；
③“x=4”是“x²﹣3x﹣4=0”的充分不必要条件；
④命题“若m²+n²=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m²+n²≠0，则m≠0且n≠0”．

A、②③ B、①②③ C、①②④ D、③④

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6. 如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）

A、圆 B、椭圆 C、一条直线 D、两条平行直线

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7. 已知二面角α﹣AB﹣β是直二面角，P为棱AB上一点，PQ、PR分别在平面α、β内，且∠QPB=∠RPB=45°，则∠QPR为（）

A、45° B、60° C、120° D、150°

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8. 设抛物线y²=4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若 $| P F | = \frac{3}{2}$ ，则弦长|AB|等于（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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9. 在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，B₁ C和C₁D与底面A₁B₁C₁D₁所成的角分别为60°和45°，则异面直线B₁C和C₁D所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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10. 已知点P是抛物线x= $\frac{1}{4}$ y²上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5-1}$ D、 $\sqrt{5+1}$

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11. 设P是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 上一点，M、N分别是两圆：（x+4）²+y²=1和（x﹣4）²+y²=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（）

A、9，12 B、8，11 C、8，12 D、10，12

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12. 设A₁、A₂为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点，若在椭圆上存在异于A₁、A₂的点P，使得 $\vec{P O} \cdot \vec{P A_{2}} = 0$ ，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$

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二、填空题

13. 已知双曲线标准方程为： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0），一条渐近线方程y=3x，则双曲线的离心率是．

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14. 若命题“存在x∈R，ax²+4x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是．

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15. 在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，设点Q是曲线 $\frac{x^{2}}{3}$ +y²=1上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值为．

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16. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）一条渐近线的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ ，离心率为e，则 $\frac{a^{2} + 3 e}{b}$ 的最小值为

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三、解答题

17. 已知条件p： $\frac{4}{x - 1}$ ≤﹣1，条件q：x²+x＜a²﹣a，且p是q的一个必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - m x - m)$

(1)、若m=1，求函数f（x）的定义域．

(2)、若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．

(3)、若函数f（x）在区间 $(- \infty, 1 - \sqrt{3})$ 上是增函数，求实数m的取值范围．

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19. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的焦距为2 $\sqrt{3}$ ，长轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C交于A，B两点．设A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），直线AB的方程为y=﹣2x+m（m＞0），试求m的值．

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20. 已知向量 $\vec{m} = (1 ， - 2)$ 与 $\vec{n} = (1 ， λ)$ ．
（Ⅰ）若 $\vec{n}$ 在 $\vec{m}$ 方向上的投影为 $\sqrt{5}$ ，求λ的值；
（Ⅱ）命题P：向量 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角为锐角；
命题q： $\vec{a} = 2 \vec{b}$ ，其中向量 $\vec{a} = (λ + 2 ， λ^{2} - \cos^{2} α)$ ， $\vec{b}$ =（ $\frac{1}{2} λ + 1 ， \frac{λ}{2} + \sin α$ ）（λ，α∈R）．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求λ的取值范围．

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21. 如图，四棱锥S一ABCD中，已知AD∥BC，∠ADC=90°，∠BAD=135°，AD=DC= $\sqrt{2}$ ，SA=SC=SD=2．
（I）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．

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22. 已知圆C₁的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l₁：x﹣2y+3 $\sqrt{5}$ =0相切，点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足 $\vec{O N} = \frac{2}{3} \vec{O A} + (\frac{2 \sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3}) \vec{O M}$ ，设动点N的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，且满足 $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ （O为坐标原点），求线段AB长度的取值范围．

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