2016-2017学年黑龙江、吉林两省八校联考高二上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-12-28 类型：期中考试

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一、选择题：

1. 抛物线y²=6x的焦点到准线的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{3}$ =1的焦点到其渐近线距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 设向量 $\vec{a}$ =（﹣1，1，2）， $\vec{b}$ =（2，1，3），则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{2 \sqrt{21}}{21}$ B、 $- \frac{5 \sqrt{21}}{42}$ C、 $\frac{2 \sqrt{21}}{21}$ D、 $\frac{5 \sqrt{21}}{42}$

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4. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $\frac{a}{b}$ =（）

A、3 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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5. 有关下列命题，其中说法错误的是（）

A、命题“若x²﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x²﹣3x﹣4≠0” B、“x²﹣3x﹣4=0”是“x=4”的必要不充分条件 C、若p∧q是假命题，则p，q都是假命题 D、命题p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，都有x²+x+1≥0

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6. 在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，设OA=a，OB=b，OC=c，则OD可表示为（）

A、a+c﹣b B、a+2b﹣c C、b+c﹣a D、a+c﹣2b

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7. P为抛物线y²=﹣4x上一点，A（0，1），则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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8. 若平面α的一个法向量为 $\vec{n}$ =（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）左，右焦点为F₁ ， F₂ ， P是双曲线C上的一点，PF₁与x轴垂直，△PF₁F₂的内切圆方程为（x+1）²+（y﹣1）²=1，则双曲线方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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10. 正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC所成的角是（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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11. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线的两条渐近线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于2（a+ $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ），则该双曲线的离心率的取值范围是（）

A、（1，2） B、（ $\sqrt{2}$ ，2） C、（1， $\sqrt{3}$ ） D、（ $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ）

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12. 已知F为抛物线y²=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ =2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）

A、2 B、3 C、 $\frac{17 \sqrt{2}}{8}$ D、 $\sqrt{10}$

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二、填空题．

13. 命题p：∀x∈R，cosx＞sinx﹣1的否定为．

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14. 抛物线x²=3y上一点A的纵坐标为 $\frac{5}{4}$ ，则点A到此抛物线焦点的距离为．

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15. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，下顶点为C，若直线AB与直线CF的交点为（3a，16），则椭圆的标准方程为．

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16.
如图，已知两个正四棱锥P﹣ABCD与Q﹣ABCD的高分别为2和4，AB=4，E、F分别为PC、AQ的中点，则直线EF与平面PBQ所成角的正弦值为．

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三、解答题

17. 求双曲线C： $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{12}$ =1的焦点坐标、实轴长、虚轴长及渐近线方程．

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18.
在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，延长A₁C₁至点P，使C₁P=A₁C₁ ，连接AP交棱CC₁于点D．以A₁为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示．

(1)、写出A₁、B、B₁、C、D、P的坐标；

(2)、求异面直线A₁B与PB₁所成角的余弦值．

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19. 已知命题p：对m∈[﹣1，1]，不等式a²﹣5a﹣3≥ $\sqrt{m^{2} + 8}$ 恒成立；命题q：不等式x²+ax+2＜0有解．若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．

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20. 已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=x﹣8与此抛物线交于A、B两点，与x轴交于点C，O为坐标原点，若 $\vec{F C}$ =3 $\vec{O F}$ ．

(1)、求此抛物线的方程；

(2)、求证：OA⊥OB．

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21.
如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；
（Ⅱ）求直线AB与平面CBF所成角的大小；
（Ⅲ）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？

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22. 已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 且过点（ $\sqrt{5}$ ，0），过定点C（﹣1，0）的动直线与该椭圆相交于A、B两点．

(1)、若线段AB中点的横坐标是﹣ $\frac{1}{2}$ ，求直线AB的方程；

(2)、在x轴上是否存在点M，使 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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