2016-2017学年河南省平顶山市郏县一中、叶县二中等五校联考高二上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-12-27 类型：期中考试

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一、选择题：

1. △ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c．若a= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ b，A=2B，则cos B=（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$

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2. 在△ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么角A=（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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3. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（　　）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、由增加的长度决定

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4. 关于三角形满足的条件，下列判断正确的是（）

A、a=7，b=14，A=30°，有两解 B、a=30，b=25，A=150°，有一解 C、a=6，b=9，A=45°，有两解 D、b=9，c=10，B=60°，无解

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5. △ABC中，A= $\frac{π}{3}$ ，BC=3，则△ABC的周长为（）

A、4 $\sqrt{3}$ sin（B+ $\frac{π}{3}$ ）+3 B、4 $\sqrt{3}$ sin（B+ $\frac{π}{6}$ ）+3 C、6sin（B+ $\frac{π}{3}$ ）+3 D、6sin（B+ $\frac{π}{6}$ ）+3

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6. 在各项均不为零的等差数列{a_n}中，若a_n₊₁﹣a_n²+a_n_﹣₁=0（n≥2），则S_2n_﹣₁﹣4n=（）

A、﹣2 B、0 C、1 D、2

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7. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列不等式：
①|a|＞|b|；
②a+b＞ab；
③ $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$ ；
④ $\frac{a^{2}}{b} < 2 a - b$ 中．
正确的不等式有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 若a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则 $\frac{2 a b}{| a | + 2 | b |}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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9. 若a、b、c是常数，则“a＞0且b²﹣4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax²+bx+c＞0”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 下列四个命题：
①“若x²+y²=0，则实数x，y均为0”的逆命题
②“相似三角形的面积相等”的否命题
③“A∩B=A，则A⊆B”逆否命题
④“末位数不是0的数可被3整除”的逆否命题，
其中真命题为（）

A、①② B、②③ C、①③ D、③④

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11. 如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值为（）

A、 $k = 8 \sqrt{3}$ B、0＜k≤12 C、k≥12 D、0＜k≤12或 $k = 8 \sqrt{3}$

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12. 锐角三角形△ABC中，若A=2B，则下列叙述正确的是（）
①sin3B=sinC；②tan $\frac{3 B}{2}$ tan $\frac{C}{2}$ =1；③ $\frac{π}{6}$ ＜B＜ $\frac{π}{4}$ ；④ $\frac{a}{b}$ ∈[ $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ]．

A、①② B、①②③ C、③④ D、①④

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二、填空题

13. 等比数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ+t，则t+a₃的值为．

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14. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等差数列，B=30°，△ABC的面积为 $\frac{3}{2}$ ，则b= ．

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15. 命题“∀x∈R，ax²﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，则a的取值范围是

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16. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} 3 x - y - 6 \leq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ x \geq 0 ， y \geq 0 \end{matrix}$ ，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则 $\frac{2}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为

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三、解答题

17. 已知p：方程x²+mx+1=0有两个不等的负根；q：方程4x²+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p或q”真“p且q”为假，求m的取值范围．

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18. 设函数f（x）=x²﹣ax+b．

(1)、若不等式f（x）＜0的解集是{x|2＜x＜3}，求不等式bx²﹣ax+1＞0的解集；

(2)、当b=3﹣a时，对任意的x∈（﹣1，0]都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．

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19. 2014年推出一种新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽车油费共0.7万元，
汽车维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费用均比上一年增加0.2万元

(1)、设该辆轿车使用n年的总费用（包括购买费用，保险费，养路费，汽车费及维修费）为f（n），求f（n）的表达式．

(2)、这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年，年平均费用最少）？

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20. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m，速度为180km（千米）/h（小时），飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取 $\sqrt{2} = 1.4$ ， $\sqrt{3} = 1.7$ ）．

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21. 在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a²+b²﹣c²= $\sqrt{3}$ ab．

(1)、求角C的大小；

(2)、如果0＜A≤ $\frac{2 π}{3}$ ，m=2cos² $\frac{A}{2}$ ﹣sinB﹣1，求实数m的取值范围．

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22. 在数列{a_n}中，a₁=1，a_n₊₁=（1+ $\frac{1}{n}$ ）a_n+ $\frac{n + 1}{2^{n}}$ ．

(1)、设b_n= $\frac{a_{n}}{n}$ ，求数列{b_n}的通项公式；

(2)、求数列{a_n}的前n项和S_n ．

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