2016-2017学年河北省邯郸市大名县、磁县、邯郸区、永年区等四校联考高二上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-12-27 类型：期中考试

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一、选择题：

1. 已知集合M={x| $\frac{x}{x - 1}$ ≥0，x∈R}，N={y|y=3x²+1，x∈R}，则M∩N为（）

A、{x|x＞1} B、{x|x≥1} C、{x＞1或x≤0} D、{x|0≤x≤1}

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2. 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)

A、“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B、“若一个数的平方是正数，则它是负数” C、“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D、“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

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3. “sinα=cosα”是“cos2α=0”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq 2 \\ x + y \geq 4 \\ x - y \leq 1 \end{matrix}$ ，则z=3x+y的最大值为（）

A、8 B、11 C、9 D、12

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5. 在△ABC中，已知a= $\sqrt{2}$ ，b=2，B=45°，则角A=（）

A、30°或150° B、60°或120° C、60° D、30°

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6. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， S₉=﹣18，S₁₃=﹣52，{b_n}为等比数列，且b₅=a₅ ， b₇=a₇ ，则b₁₅的值为（）

A、64 B、128 C、﹣64 D、﹣128

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7. 在数列{a_n}中，a₁=1，S_n₊₁=4a_n+2，则a₂₀₁₃的值为（）

A、3019×2²⁰¹² B、3019×2²⁰¹³ C、3018×2²⁰¹² D、无法确定

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8. 设数列{a_n}是首项为1的等比数列，若 ${\frac{1}{2 a_{n} + a_{n + 1}}}$ 是等差数列，则 $(\frac{1}{2 a_{1}} + \frac{1}{a_{2}}) + (\frac{1}{2 a_{2}} + \frac{1}{a_{3}}) + \dots + (\frac{1}{2 a_{2012}} + \frac{1}{a_{2013}})$ 的值等于（）

A、2012 B、2013 C、3018 D、3019

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9. 在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c²=（a﹣b）²+6，C= $\frac{π}{3}$ ，则△ABC的面积（）

A、3 B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、3 $\sqrt{3}$

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10. 在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不含60°角的等腰三角形

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11. 已知正项等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅ ，若存在两项a_m ， a_n使得 $\sqrt{a_{m} a_{n}} = 4 a_{1}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为（　　）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{25}{6}$ D、不存在

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12. 给出以下四个命题：
①若ab≤0，则a≤0或b≤0；
②若a＞b则am²＞bm²；
③在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B；
④在一元二次方程ax²+bx+c=0中，若b²﹣4ac＜0，则方程有实数根．
其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是（）

A、① B、② C、③ D、④

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二、填空题

13. 实数x，y满足x+2y=2，则3^x+9^y的最小值是．

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14. 已知数列1，a₁ ， a₂ ， 9是等差数列，数列1，b₁ ， b₂ ， b₃ ， 9是等比数列，则 $\frac{b_{2}}{a_{1} + a_{2}}$ 的值为．

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15. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \geq - 1 \\ x + y \geq 1 \\ 2 x - y \leq 1 \end{matrix}$ ，则目标函数z= $\frac{y}{x + 2}$ 的最大值为．

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16. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， $\sqrt{3}$ ≈1.73）

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三、解答题

17. 已知a＞3且a≠ $\frac{7}{2}$ ，命题p：指数函数f（x）=（2a﹣6）^x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x²﹣3ax+2a²+1=0的两个实根均大于3．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

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18. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（ $\sqrt{3}$ sinB﹣cosB）（ $\sqrt{3}$ sinC﹣cosC）=4cosBcosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sinB=psinC，且△ABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．

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19.
已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN= $\frac{2}{3}$ π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．
（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；
（Ⅱ）若c= $\sqrt{3}$ ，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．

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20. 已知数列{a_n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a₁ ， a₂ ， a₅成等比数列

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若b_n= $\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，S_n是数列{b_n}的前n项和，求证：S_n＜ $\frac{1}{2}$ ．

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21. 设数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3ⁿ^﹣¹a_n= $\frac{n}{3}$ （n∈N^*）．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n= $\frac{n}{a_{n}}$ ，求数列{b_n}的前n项和S_n ．

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22. 设数列{a_n}的首项a₁为常数，且a_n₊₁=3ⁿ﹣2a_n ，（n∈N^*）

(1)、证明：{a_n﹣ $\frac{3^{n}}{5}$ }是等比数列；

(2)、若a₁= $\frac{3}{2}$ ，{a_n}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．

(3)、若{a_n}是递增数列，求a₁的取值范围．

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