2016-2017学年福建省龙岩“上杭、武平、漳平、长汀一中”四校联考高二上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-12-27 类型：期中考试

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一、选择题：

1. ∃x∈R，x²﹣2x+3＞0的否定是（）

A、不存在x∈R，使∃x²﹣2x+3≥0 B、∃x∈R，x²﹣2x+3≤0 C、∀x∈R，x²﹣2x+3≤0 D、∀x∈R，x²﹣2x+3＞0

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2. 不等式x（x﹣1）＜2的解集是（）

A、{x|﹣2＜x＜1} B、{x|﹣1＜x＜2} C、{x|x＞1或x＜﹣2} D、{x|x＞2或x＜﹣1}

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3. 已知等差数列{a_n}中，a₆+a₈=16，a₄=1，则a₁₀的值是（）

A、15 B、30 C、31 D、64

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4. 在△ABC中，b= $\sqrt{3}$ ，c=3，B=30°，则a=（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ 或2 $\sqrt{3}$ D、2

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5. 已知等比数列{a_n}的公比为正数，且a₄•a₈=2a₅² ， a₂=1，则a₁=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. 已知a∈R，“函数y=log_ax在（0，+∞）上为减函数”是“函数y=3^x+a﹣1有零点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）

A、 $\frac{5}{4}$ 钱 B、 $\frac{4}{3}$ 钱 C、 $\frac{3}{2}$ 钱 D、 $\frac{5}{3}$ 钱

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8. 设x，y满足线性约束条件 ${\begin{matrix} 2 x - y + 2 \geq 0 \\ x - 3 y + 1 \leq 0 \\ x + y - 2 \leq 0 \end{matrix}$ ，若z=ax﹣y（a＞0）取得最大值的最优解有多个，则实数a的值为（）

A、2 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、3

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9. 设a＞0，b＞0，若 $\sqrt{2}$ 是4^a与2^b的等比中项，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、8 C、9 D、10

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10. 数列{a_n}满足a₁=3，a_n﹣a_n•a_n₊₁=1，A_n表示{a_n}前n项之积，则A₂₀₁₆的值为（）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、﹣1 D、1

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11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $\sqrt{3}$ （acosB+bcosA）=2csinC，a+b=8，且△ABC的面积的最大值为4 $\sqrt{3}$ ，则此时△ABC的形状为（）

A、等腰三角形 B、正三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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12. 数列{a_n}的通项公式为a_n=﹣n+p，数列{b_n}的通项公式为b_n=2ⁿ^﹣⁵ ，设c_n= ${\begin{matrix} a_{n} ， a_{n} \leq b_{n} \\ b_{n} ， a_{n} ＞ b_{n} \end{matrix}$ ，若在数列{c_n}中c₈＞c_n（n∈N^* ， n≠8），则实数p的取值范围是（）

A、（11，25） B、（12，16] C、（12，17） D、[16，17）

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二、填空题.

13. 若x，y满足线性约束条件 ${\begin{matrix} x \leq 3 \\ x + y \geq 0 \\ x - y + 5 \geq 0 \end{matrix}$ ，则z=2x+4y的最大值为

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14. 函数f（x）= $\frac{x^{2}}{x - 3}$ （x＞3）的最小值为

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15. 一船以每小时12海里的速度向东航行，在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，到达C处，看到这个灯塔B在北偏东15°，这时船与灯塔相距为海里．

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16. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁=1，2a_n₊₁=a_n ，若对于任意n∈N^* ，当t∈[﹣1，1]时，不等式x²+tx+1＞S_n恒成立，则实数x的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知p：﹣x²+2x﹣m＜0对x∈R恒成立；q：x²+mx+1=0有两个正根．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．

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18. 已知等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₂+2，a₃ ， a₄﹣2成等比数列．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若b_n= $\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列{b_n}的前n项和S_n ．

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19. 在△ABC中，cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0．

(1)、求角A的大小；

(2)、若△ABC的外接圆半径为1，试求该三角形面积的最大值．

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20. 设f（x）=ax²﹣（a+1）x+1

(1)、解关于x的不等式f（x）＞0；

(2)、若对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．

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21. 某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．

(1)、写出y与x之间的函数关系式；

(2)、从第几年开始，该机床开始盈利？

(3)、使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．

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22. 在数列{a_n}中，a₁=1，a_n₊₁=1﹣ $\frac{1}{4 a_{n}}$ ，b_n= $\frac{1}{2 a_{n} - 1}$ ，其中n∈N^* ．

(1)、求证：数列{b_n}为等差数列；

(2)、设c_n=b_n₊₁•（ $\frac{1}{3}$ ） $^{b_{a}}$ ，数列{c_n}的前n项和为T_n ，求T_n；

(3)、证明：1+ $\frac{1}{\sqrt{b_{2}}}$ + $\frac{1}{\sqrt{b_{3}}}$ +…+ $\frac{1}{\sqrt{b_{n}}}$ ≤2 $\sqrt{n}$ ﹣1（n∈N^*）

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