上海市嘉定区2018届数学中考一模试卷

试卷更新日期：2018-05-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 已知线段 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ ，如果 $a b = c d$ ，那么下列式子中一定正确的是（）

A、 $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ B、 $\frac{a}{d} = \frac{b}{c}$ C、 $\frac{a}{c} = \frac{d}{b}$ D、 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

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2. 在Rt△ABC中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = b$ ，下列选项中一定正确的是（）

A、 $b = 6 sin A$ ； B、 $b = 6 cos A$ ； C、 $b = 6 tan A$ ； D、 $b = 6 cot A$ ．

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3. 抛物线 $y = 2 {(x + 1)}^{2} - 2$ 与 $y$ 轴的交点的坐标是（）

A、 $(0 ， - 2)$ B、 $(- 2 ， 0)$ C、 $(0 ， - 1)$ D、 $(0 ， 0)$

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4. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $D C$ 上，联结 $A E$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，若 $A D = 3 C F$ ，那么下列结论中正确的是（）

A、 $F C ： F B = 1 ： 3$ ； B、 $C E ： C D = 1 ： 3$ ； C、 $C E ： A B = 1 ： 4$ ； D、 $A E ： A F = 1 ： 2$ .

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5. 已知矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，如果 $\overset{⇀}{B C} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{D C} = \overset{⇀}{b}$ ，那么 $\overset{⇀}{B O}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ ； B、 $\frac{1}{2} (\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b})$ ； C、 $\frac{1}{2} (\overset{⇀}{b} - \overset{⇀}{a})$ ； D、 $\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}$ ．

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6. 下列四个命题中，真命题是（）

A、相等的圆心角所对的两条弦相等； B、圆既是中心对称图形也是轴对称图形； C、平分弦的直径一定垂直于这条弦； D、相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和.

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二、填空题

7. 已知点 $P$ 在线段 $A B$ 上，且 $A P ： B P = 2 ： 3$ ，那么 $A B ： P B =$ ．

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8. 计算： $\frac{1}{2} (4 \overset{⇀}{a} + 6 \overset{⇀}{b}) - 4 \overset{⇀}{a} =$ ．

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9. 如果函数 $y = (m - 2) x^{2} + 2 x + 3$ （ $m$ 为常数）是二次函数，那么 $m$ 取值范围是．

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10. 抛物线 $y = x^{2} + 4 x + 3$ 向下平移 $4$ 个单位后所得的新抛物线的表达式是．

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11. 抛物线 $y = 2 x^{2} + 3 x + k - 2$ 经过点 $(- 1 ， 0)$ ，那么 $k =$ ．

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12. 如果△ $A B C$ ∽△ $D E F$ ，且对应面积之比为 $1 ： 4$ ，那么它们对应周长之比为．

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13. 如图，在△ $A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 上，四边形 $D E F B$ 是菱形， $A B = 6$ ， $B C = 4$ ，那么 $A D =$ ．

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14. 在Rt△ $A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，如果 $cos ∠ A = \frac{2}{3}$ ，那么 $cot ∠ A$ = ．

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15. 如果一个斜坡的坡度 $i = 1 ： \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，那么该斜坡的坡角为度．

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16. 已知弓形的高是 $1$ 厘米，弓形的半径长是 $13$ 厘米，那么弓形的弦长是厘米.

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17. 已知⊙ $O_{1}$ 的半径长为4，⊙ $O_{2}$ 的半径长为 $r$ ，圆心距 $O_{1} O_{2} = 6$ ，当⊙ $O_{1}$ 与⊙ $O_{2}$ 外切时， $r$ 的长为．

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18. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D$ ∥ $B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A D = 3$ ， $A B = 4$ ， $B C = 8$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $C D$ 、 $B C$ 上，联结 $E F$ ．如果△ $C E F$ 沿直线 $E F$ 翻折，点 $C$ 与点 $A$ 恰好重合，那么 $\frac{D E}{E C}$ 的值是．

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三、解答题

19. 计算： $cot 30 ° - sin 60 ° + \frac{2}{2 cos 30 ° - tan 45 °}$ .

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20. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像上部分点的坐标 $(x ， y)$ 满足下表：
$x$
…
$- 1$
$0$
$1$
$2$
…
$y$
…
$- 4$
$- 2$
$2$
$8$
…

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴.

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21. 如图，某湖心岛上有一亭子 $A$ ，在亭子 $A$ 的正东方向上的湖边有一棵树 $B$ ，在这个湖心岛的湖边 $C$ 处测得亭子 $A$ 在北偏西 $45 °$ 方向上，测得树 $B$ 在北偏东 $36 °$ 方向上，又测得 $B$ 、 $C$ 之间的距离等于 $200$ 米，求 $A$ 、 $B$ 之间的距离（结果精确到 $1$ 米）．
（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $sin 36 ° \approx 0.588$ ， $cos 36 ° \approx 0.809$ ， $tan 36 ° \approx 0.727$ ， $cot 36 ° \approx 1.376$ ）

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22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， $A C = \sqrt{5}$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ，以点 $C$ 为圆心， $C A$ 长为半径的⊙ $C$ 与边 $A B$ 交于点 $D$ ，以点 $B$ 为圆心， $B D$ 长为半径的⊙ $B$ 与⊙ $C$ 另一个交点为点 $E$ .

(1)、求 $A D$ 的长；

(2)、求 $D E$ 的长．

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23. 如图，已知梯形 $A B C D$ 中， $A D$ ∥ $B C$ ， $A B = C D$ ，点 $E$ 在对角线 $A C$ 上，且满足 $∠ A D E = ∠ B A C$ .

(1)、求证： $C D \cdot A E = D E \cdot B C$ ；

(2)、以点 $A$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧交边 $B C$ 于点 $F$ ，联结 $A F$ .
求证： $A F^{2} = C E \cdot C A$ .

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24. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ （如图）中，已知抛物线 $y = \frac{2}{3} x^{2} + b x + c$ 点经过 $A (1 ， 0)$ 、 $B (0 ， 2)$ .

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、设该抛物线的对称轴与 $x$ 轴的交点为 $C$ ，第四象限内的点 $D$ 在该抛物线的对称轴上，如果以点 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 所组成的三角形与△ $A O B$ 相似，求点 $D$ 的坐标；

(3)、设点 $E$ 在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是 $1$ ，联结 $A E$ 、 $B E$ ，求 $sin ∠ A B E$ .

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25. 在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ，点 $P$ 在边 $C D$ 上， $tan ∠ P B C = \frac{3}{4}$ ，点 $Q$ 是在射线 $B P$ 上的一个动点，过点 $Q$ 作 $A B$ 的平行线交射线 $A D$ 于点 $M$ ，点 $R$ 在射线 $A D$ 上，使 $R Q$ 始终与直线 $B P$ 垂直．

(1)、如图1，当点 $R$ 与点 $D$ 重合时，求 $P Q$ 的长；

(2)、如图2，试探索： $\frac{R M}{M Q}$ 的比值是否随点 $Q$ 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；

(3)、如图3，若点 $Q$ 在线段 $B P$ 上，设 $P Q = x$ ， $R M = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并写出它的定义域．

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$x$	…	$- 1$	$0$	$1$	$2$	…
$y$	…	$- 4$	$- 2$	$2$	$8$	…