2018年高考数学提分专练：第22题坐标与参数方程（选考题）

试卷更新日期：2018-05-16 类型：二轮复习

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一、真题演练

1. [选修4-4 ，坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 c o s θ \\ y = s i n θ \end{matrix}$ （θ为参数），直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = a + 4 t \\ y = 1 - t \end{matrix}$ （t为参数）．

(1)、若a=﹣1，求C与l的交点坐标；

(2)、若C上的点到l距离的最大值为 $\sqrt{17}$ ，求a．

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2. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρcosθ=4．

（Ⅰ）M为曲线C₁上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C₂的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点A的极坐标为（2， $\frac{π}{3}$ ），点B在曲线C₂上，求△OAB面积的最大值．

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3. 在直角坐标系xOy中，直线l₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = k t \end{matrix}$ ，（t为参数），直线l₂的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 2 + m \\ y = \frac{m}{k} \end{matrix}$ ，（m为参数）．设l₁与l₂的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）写出C的普通方程；

（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l₃：ρ（cosθ+sinθ）﹣ $\sqrt{2}$ =0，M为l₃与C的交点，求M的极径．

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二、模拟实训

4. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中， $A (0, - 1)$ ， $B (- \sqrt{3}, 0)$ ，以 $A B$ 为直径的圆记为圆 $C$ ，圆 $C$ 过原点 $O$ 的切线记为 $l$ ，若以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若过点 $P (0, 1)$ ，且与直线 $l$ 垂直的直线 $l'$ 与圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $| M N |$ ．

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5. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s α \\ y = 2 + 2 s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ {cos}^{2} θ = sin θ$ （限定 $ρ \geq 0 ， 0 \leq θ < π$ ）.

(1)、写出曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程，并求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标；

(2)、射线 $θ = β (\frac{π}{6} \leq β \leq \frac{π}{3})$ 与曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 分别交于点 $A 、 B$ （ $A 、 B$ 异于原点），求 $\frac{| O A |}{| O B |}$ 的取值范围.

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6. 选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系 $x o y$ 中，圆C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 + 2 c o s θ \\ y = - 4 + 2 s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数）.

(1)、以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；

(2)、已知 $A (- 2 ， 0) ， B (0 ， 2)$ ，圆C上任意一点 $M (x ， y)$ ，求 $△ A B M$ 面积的最大值.

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7. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 过 $M (2, 0)$ ，倾斜角为 $α (α \neq 0)$ ．以 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ {sin}^{2} θ = 4 cos θ$ ．
（Ⅰ）求直线 $l$ 的参数方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $| M A | = 2 | M B |$ ，求直线 $l$ 的斜率 $k$ ．

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8. 在直角坐标系中，以原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ cos (θ + \frac{π}{3}) = 3$ ，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 a cos θ (a > 0)$ .

(1)、设 $t$ 为参数，若 $y = - 2 \sqrt{3} + \frac{1}{2} t$ ，求直线 $l$ 的参数方程；

(2)、已知直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $P ， Q$ ，设 $M (0 ， - 2 \sqrt{3})$ ，且 $| P Q |^{2} = | M P | | M Q |$ ，求实数 $a$ 的值.

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9. 已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = c o s α \\ y = 1 + s i n α \end{matrix}$ ，其中 $α$ 为参数，且 $α \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ，在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、设 $T$ 是曲线 $C$ 上的一点，直线 $O T$ 与曲线 $C$ 截得的弦长为 $\sqrt{3}$ ，求 $T$ 点的极坐标.

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10. 选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $p (cos θ + sin θ) = 4$ ，现以极点 $O$ 为原点，极轴为 $x$ 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + c o s θ \\ y = 1 + 3 s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数）.

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的直角坐标方程和曲线 $C_{2}$ 的普通方程；

(2)、若曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 交于 $A 、 B$ 两点， $P$ 为曲线 $C_{2}$ 上的动点，求 $Δ P A B$ 面积的最大值.

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11. 已知曲线 $C$ 的极坐标方程是 $ρ = 4 cos θ$ ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 $m$ 的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 1 + t c o s α \\ y = t s i n α \end{matrix}$ ( $t$ 为参数).

(1)、将曲线 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)、若直线 $m$ 与曲线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $| A B | = \sqrt{14}$ ，求直线 $m$ 的倾斜角 $α$ 的值.

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12. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + a c o s θ, \\ y = - 1 + a s i n θ, \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数， $a$ 是大于0的常数）．以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} cos (θ - \frac{π}{4})$ ．

(1)、求圆 $C_{1}$ 的极坐标方程和圆 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、分别记直线 $l$ ： $θ = \frac{π}{12}$ ， $ρ \in R$ 与圆 $C_{1}$ 、圆 $C_{2}$ 的异于原点的焦点为 $A$ ， $B$ ，若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 外切，试求实数 $a$ 的值及线段 $A B$ 的长．

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13. 已知曲线C： ${\begin{matrix} x = 2 c o s θ \\ y = 3 s i n θ \end{matrix}$ ，（θ为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0．

(1)、写出曲线C的普通方程，直线l的直角坐标方程；

(2)、过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

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14. 以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{1}{2} + t c o s α \\ y = t s i n α \end{matrix} (t 为参数， 0 < α < π)$ ，曲线C的极坐标方程为 $ρ = \frac{2 c o s θ}{s i n^{2} θ}$

(1)、求曲线C的直角坐标方程；

(2)、设直线A与曲线C相交于A，B两点，已知定点P（ $\frac{1}{2}$ ，0），当α= $\frac{π}{3}$ 时，求|PA|+|PB|的值．

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15. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = - 5 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．

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2018年高考数学提分专练：第22题 坐标与参数方程（选考题）

一、真题演练

二、模拟实训

2018年高考数学提分专练：第22题坐标与参数方程（选考题）