2016-2017学年贵州省贵阳市普通高中高三上学期8月摸底数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-12-19 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x|y=log₂（x﹣1）}，B={x|x＜2}，则A∩B=（）

A、{x|0＜x＜2} B、{x|1＜x＜2} C、{x|1≤x＜2} D、R

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2. 已知i为虚数单位，若复数z满足z+z•i=2，则z的虚部为（）

A、i B、1 C、﹣i D、﹣1

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3. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} x - y \leq 1 \\ 2 x + y \leq 5 \\ x \geq 1 \end{matrix}$ ，则函数z=x+3y的最大值为（）

A、10 B、8 C、5 D、1

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4. 已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{10} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{10} = 1$

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5. 在各项都为正数的等比数列{a_n}中，首项a₁=3，前三项和为21，则a₃+a₄+a₅=（）

A、33 B、72 C、84 D、189

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6. 在边长为1的正三角形ABC中， $\vec{B C}$ =2 $\vec{B D}$ ，则 $\vec{A D}$ • $\vec{A B}$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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7. 函数y=sinx+ $\sqrt{3}$ cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 若函数f（x）=3x+lnx的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=（）

A、﹣ $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、﹣4 D、4

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9. 已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、α⊥β，m⊂α⇒m⊥β B、α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m⊥n C、m∥n，n⊥α⇒m⊥α D、m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β

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10. 阅读右边的程序，若输出的y=3，则输入的x的值为（）

A、1 B、2 C、±2 D、1或2

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11. 已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且当x＜0，f（x）=3^x+1，若a= $2^{\frac{4}{3}}$ ，b= $4^{\frac{2}{5}}$ ，c=2 $5^{\frac{1}{3}}$ ，则有（）

A、f（a）＜f（b）＜f（c） B、f（b）＜f（c）＜f（a） C、f（b）＜f（a）＜f（c） D、f（c）＜f（a）＜f（b）

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12. 设正实数x，y，z满足x²﹣3xy+4y²﹣z=0，则当 $\frac{z}{x y}$ 取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）

A、0 B、 $\frac{9}{8}$ C、2 D、 $\frac{9}{4}$

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二、填空题

13. （x²+ $\frac{1}{x}$ ）⁶的展开式中常数项是．（用数字作答）

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14. 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 $\sqrt{3}$ ，则a= ．

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15. 已知正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的8个顶点都在球O的表面上，AB=1，AA₁′=2，则球O的半径R=；若E，F是棱AA₁和DD₁的中点，则直线EF被球O截得的线段长为．

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16. 已知直线l：y=k（x+1）﹣ $\sqrt{3}$ 与圆x²+y²=（2 $\sqrt{3}$ ）²交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=4 $\sqrt{3}$ ，则|CD|= ．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且满足3asinC=4ccosA， $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ =3．

(1)、求△ABC的面积S；

(2)、若c=1，求a的值．

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18. 通过随机询问100性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：
男
女
总计
爱好
40
不爱好
25
总计
45
100

(1)、将题中的2×2列联表补充完整；

(2)、能否有99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关？请说明理由；
附：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
p（K²≥k₀）
0.050
0.010
0.001
k₀
3.841
6.635
10.828

(3)、利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建了“运动达人社”，现从“运动达人设”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X，求X的分布列和数学期望．

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19. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．

(1)、求证：平面AEC⊥平面PDB；

(2)、当PD=2AB，且E为PB的中点，求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点A（0，﹣2）与椭圆右焦点F的连线的斜率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．

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21. 已知函数f（x）=xlnx，g（x）= $\frac{a}{x}$ （其中a∈R）

(1)、求函数f（x）的极值；

(2)、设函数h（x）=f′（x）+g（x）﹣1，试确定h（x）的单调区间及最值；

(3)、求证：对于任意的正整数n，均有 $e^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{n}}$ ＞ $\frac{e^{n}}{n!}$ 成立．（注：e为自然对数的底数）

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四、选做题：在22、23、24三题中任选一题作答

22. 如图所示，AC为⊙O的直径，D为 $\hat{B C}$ 的中点，E为BC的中点．

(1)、求证：DE∥AB；

(2)、求证：AC•BC=2AD•CD．

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23. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2 $\sqrt{3}$ sinθ．

(1)、求圆C的直角做标方程；

(2)、圆C的圆心为C，点P为直线l上的动点，求|PC|的最小值．

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24. 设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|；

(1)、解不等式f（x）≥1；

(2)、若对∀x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，求实数m的取值范围．

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25. 等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₃是a₂与a₆的等比中项，2a₁+3a₂=16．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n ，求数列{ $\frac{1}{b_{n}}$ }的前n项和S_n ．

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	男	女	总计
爱好	40
不爱好		25
总计		45	100

p（K²≥k₀）	0.050	0.010	0.001
k₀	3.841	6.635	10.828