2016-2017学年广东省深圳市宝安区高三上学期摸底数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-12-19 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合P={x|x²﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁_RP）∩Q=（）

A、[0，1） B、（0，2] C、（1，2） D、[1，2]

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2. 若复数（1+ai）²﹣2i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）

A、0 B、±1 C、1 D、﹣1

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3. 点M（x，y）是不等式组 ${\begin{matrix} 0 \leq x \leq \sqrt{3} \\ y \leq 3 \\ x \leq \sqrt{3} y \end{matrix}$ 表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x﹣y+m≥0恒成立，则的取m值范围是（）

A、m≥3﹣2 $\sqrt{3}$ B、m≥3 C、m≥0 D、m≥1﹣2 $\sqrt{3}$

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4. 某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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5. 将函数y=sin（x+ $\frac{π}{6}$ ）的图象上各点的横坐标压缩为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（）

A、（﹣ $\frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{6}$ ） B、（﹣ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{π}{2}$ ） C、（﹣ $\frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{3}$ ） D、（﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{2 π}{3}$ ）

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6. 根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）

A、0 B、3 C、6 D、12

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7. 如图，△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线交BC于D，若AB=4，且 $\vec{A D} = \frac{1}{4} \vec{A C} + λ \vec{A B} (λ \in R)$ ，则AD的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、3 $\sqrt{3}$ C、4 $\sqrt{3}$ D、5 $\sqrt{3}$

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8. 球O半径为R=13，球面上有三点A，B，C，AB=12 $\sqrt{3}$ ，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）

A、60 $\sqrt{3}$ B、50 $\sqrt{3}$ C、60 $\sqrt{6}$ D、50 $\sqrt{6}$

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9. 若α∈（ $\frac{π}{4}$ ，π）且3cos2α=4sin（ $\frac{π}{4}$ ﹣α），则sin2α的值为（）

A、 $\frac{7}{9}$ B、﹣ $\frac{7}{9}$ C、﹣ $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{9}$

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10. 如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数．例如[3.27]=3，[0.6]=0．那么“[x]=[y]”是“|x﹣y|＜1”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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11. 已知F₂、F₁是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F₂关于渐近线的对称点恰好落在以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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12. 定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 二项式（x﹣ $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ）⁶展开式中的常数项是．

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14. 已知实数a≠0，函数f（x）= ${\begin{matrix} 2 x + a ， x ＜ 1 \\ - x - 2 a ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为．

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15. 过点（3，2 $\sqrt{3}$ ）的直线与圆x²+y²﹣2x﹣3=0相切，且与直线kx+y+1=0垂直，则k的值为．

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16. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且c= $\sqrt{3}$ asinC﹣ccosA

(1)、求A；

(2)、若a=2，△ABC的面积为 $\sqrt{3}$ ，求b，c．

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三、解答题

17. 已知等差数列{a_n}的首项a₁=3，且公差d≠0，其前n项和为S_n ，且a₁ ， a₄ ， a₁₃分别是等比数列{b_n}的b₂ ， b₃ ， b₄ ．

(1)、求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；

(2)、证明 $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{s_{1}} + \frac{1}{s_{2}} + \dots + \frac{1}{s_{n}} ＜ \frac{3}{4}$ ．

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18. 高考数学试题中共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：

(1)、得50分的概率；

(2)、得多少分的可能性最大；

(3)、所得分数ξ的数学期望．

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19. 如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD= $\frac{1}{3}$ DB，点C为圆O上一点，且BC= $\sqrt{3}$ AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．

(1)、求证：PA⊥CD；

(2)、求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．

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20. 已知椭圆M： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ （a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．

(1)、求椭圆方程；

(2)、当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；

(3)、记△ABD与△ABC的面积分别为S₁和S₂ ，求|S₁﹣S₂|的最大值．

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21. 设函数f（x）=ln（x+a）+x²

(1)、若当x=﹣1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；

(2)、若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于 $\ln \frac{e}{2}$ ．

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四、选做题：在22、23、24三题中任选一题作答

22. 如图，AB是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，AC=AB，连接CD，CE，分别与⊙O交于点F，点G．

(1)、求证：△ADC～△ACE；

(2)、求证：FG∥AC．

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23. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \sqrt{2} \cos θ \\ y = 1 + \sqrt{2} \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m（m∈R）．

(1)、当m=3时，判断直线l与C的位置关系；

(2)、当C上有且只有一点到直线l的距离等于 $\sqrt{2}$ 时，求C上到直线l距离为2 $\sqrt{2}$ 的点的坐标．

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24. 已知|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1．

(1)、求y的取值范围；

(2)、若对任意实数x，y，|x﹣2y+2a﹣1|≤3成立，求实数a的值．

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