河北省唐山市2017—2018学年高三理数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2018-05-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ， $A = {x | x + 1 < 0}$ ，集合 $B = {x | {log}_{2} x < 1}$ ，则集合 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $[- 1 ， 2]$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 1)$

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2. 复数 $z = \frac{1 + i}{a - i} (i$ 是虚数单位， $a \in R$ ）是纯虚数，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $1$ B、 $i$ C、 $2$ D、 $2 i$

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3. 设 $m \in R$ ，则“ $m = 1$ ”是“ $f (x) = m \cdot 2^{x} + 2^{- x}$ ”为偶函数的（）

A、充分而不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若 $x \in [0 ， π]$ ，则函数 $f (x) = cos x - sin x$ 的增区间为（）

A、 $[0 ， \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{π}{4} ， π]$ C、 $[0 ， \frac{3 π}{4}]$ D、 $[\frac{3 π}{4} ， π]$

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5. 已知双曲线 $C ： x^{2} - y^{2} = 2$ 的左右焦点 $F_{1} ， F_{2} ， O$ 分别为为坐标原点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 上，且 $| O P | = 2$ ，则 $S_{Δ P F_{1} F_{2}} =$ （）

A、 $4$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则其表面积为（）

A、 $2 π$ B、 $5 π$ C、 $8 π$ D、 $10 π$

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7. 设 ${a_{n}}$ 是任意等差数列，它的前 $n$ 项和、前 $2 n$ 项和与前 $4 n$ 项和分别为 $X ， Y ， Z$ ，则下列等式中恒成立的是（）

A、 $2 X + Z = 3 Y$ B、 $4 X + Z = 4 Y$ C、 $2 X + 3 Z = 7 Y$ D、 $8 X + Z = 6 Y$

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8. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 右焦点为 $F$ ，存在直线 $y = t$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，使得 $Δ A B F$ 为等腰直角三角形，则椭圆 $C$ 的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\sqrt{5} - 1$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 甲乙等 $4$ 人参加 $4 \times 100$ 米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{7}{9}$

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10. 下图是某桌球游戏计分程序框图，下列选项中输出数据不符合该程序的为（）

A、 $i = 15 ， S = 120$ B、 $i = 13 ， S = 98$ C、 $i = 11 ， S = 88$ D、 $i = 11 ， S = 81$

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11. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) > f^{'} (x)$ ，在下列不等关系中，一定成立的是（）

A、 $e f (1) > f (2)$ B、 $e f (1) < f (2)$ C、 $f (1) > e f (2)$ D、 $f (1) < e f (2)$

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12. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{0} ， | A B | = 6$ ，点 $P$ 满足 $| C P | = 2$ ，则 $\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 的最大值为（）

A、 $9$ B、 $16$ C、 $18$ D、 $25$

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二、填空题

13. ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{6}$ 展开式的常数项为（用数字作答）

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14. 曲线 $y = x^{3}$ 与直线 $y = x$ 所围成的封闭图形的面积为

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15. 在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $S D = A D = 2$ ，三棱柱 $M N P - M_{1} N_{1} P_{1}$ 的顶点都位于四棱锥 $S - A B C D$ 的棱上，已知 $M ， N ， P$ 分别是棱 $A B ， A D ， A S$ 的中点，则三棱柱 $M N P - M_{1} N_{1} P_{1}$ 的体积为

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16. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2^{n}$ ，若 $n \in N^{+}$ 时， $a_{n + 1} > a_{n}$ ，则 $a_{1}$ 的取值范围是

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三、解答题

17. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{3} ， A C = 2 ， ∠ A D C = ∠ C A B = 90^{0}$ ，设 $∠ D A C = θ$ .

(1)、若 $θ = 60^{0}$ ，求 $B D$ 的长度；

(2)、若 $∠ A D B = 30^{0}$ ，求 $tan θ$ .

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18. 为了研究黏虫孵化的平均温度 $x$ （单位： ${}^{0}C$ ）与孵化天数 $y$ 之间的关系，某课外兴趣小组通过试验得到如下6组数据：
组号
1
2
3
4
5
6
平均温度
15.3
16.8
17.4
18
19.5
21
孵化天数
16.7
14.8
13.9
13.5
8.4
6.2
他们分别用两种模型① $y = b x + a$ ，② $y = c e^{d x}$ 分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：
经计算得 $\bar{x} = 18 ， \bar{y} = 12.25 ， \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = 1283.01 ， \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = 1964.34$ ，

(1)、根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程.（精确到0.1）
$b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i - 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = ∠ A A_{1} C = 90^{0}$ ，平面 $A A_{1} C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、求证： $C C_{1} ⊥ A_{1} B$ ；

(2)、若 $B C = A C = 2 A A_{1}$ ，求 $A_{1} - B C_{1} - A$ .

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20. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A ， B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C ， O$ 为坐标原点.

(1)、若 $k_{O A} + k_{O B} = 4$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、线段 $A B$ 的垂直平分线与直线 $l ， x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $D ， M ， N$ ，求 $\frac{S_{Δ N D C}}{S_{Δ F D M}}$ 的最小值.

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21. 设 $f (x) = \frac{ln x}{x - 1} ， g (x) = a^{x} + x^{2}$ .

(1)、证明： $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上单调递减；

(2)、若 $0 < a < x < 1$ ，证明： $g (x) > 1$ .

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22. 在极坐标系中，曲线 $C_{1} ： ρ = 2 sin θ$ ，曲线 $C_{2} ： ρ cos θ = 3$ ，点 $P (1 ， π)$ ，以极点为原点，极轴为 $x$ 轴正半轴建立直角坐标系.

(1)、求曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、过点 $P$ 的直线 $l$ 交 $C_{1}$ 于点 $A ， B$ ，交 $C_{2}$ 于点 $Q$ ，若 $| P A | + | P B | = λ | P Q |$ ，求 $λ$ 的最大值.

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23. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， c > 0 ， d > 0 ， a^{2} + b^{2} = a b + 1 ， c d > 1$ .

(1)、求证： $a + b \leq 2$ ；

(2)、判断等式 $\sqrt{a c} + \sqrt{b d} = c + d$ 能否成立，并说明理由.

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组号	1	2	3	4	5	6
平均温度	15.3	16.8	17.4	18	19.5	21
孵化天数	16.7	14.8	13.9	13.5	8.4	6.2