河北省保定市2018届高三理数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2018-05-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 1 ， 2}$ ，集合 $B = {k \in A | y = k x 在 R 上为增函数}$ ，则 $A \cap B$ 的子集个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 设 $a$ 为 $i^{- 1}$ 的虚部， $b$ 为 ${(1 + i)}^{2}$ 的实部，则 $a + b =$ （）

A、-1 B、-2 C、-3 D、0

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3. 已知具有线性相关的变量 $x ， y$ ，设其样本点为 $A_{i} (x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \dots \dots ， 8)$ ，回归直线方程为 $\hat{y} = \frac{1}{2} x + a$ ，若 $\overset{⇀}{O A_{1}} + \overset{⇀}{O A_{1}} + \dots \dots + \overset{⇀}{O A_{8}} = (6 ， 2)$ ，（ $O$ 为原点），则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $- \frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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4. 已知非向量 $\overset{⇀}{a} = (x ， 2 x) ， \overset{⇀}{b} = (x ， - 2)$ ，则 $x < 0$ 或 $x > 4$ 是向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 夹角为锐角的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去 $A 、 B 、 C$ 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去 $A$ 社区，乙不去 $B$ 社区，则不同的安排方法种数为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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6. 2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为 $θ$ ，则 $sin (θ + \frac{π}{2}) - cos (θ + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{10}$ B、 $\frac{4 - 3 \sqrt{3}}{10}$ C、 $\frac{- 4 + 3 \sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{- 4 - 3 \sqrt{3}}{10}$

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7. 如图所示的程序框图中，输出的 $S$ 为（）

A、 $\frac{2^{99} - 2}{3}$ B、 $\frac{2^{100} - 2}{3}$ C、 $\frac{2^{101} - 2}{3}$ D、 $\frac{2^{102} - 2}{3}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 既是二次函数又是幂函数，函数 $g (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，函数 $h (x) = \frac{g (x)}{f (x) + 1} + 1$ ，则 $h (2018) + h (2017) + h (2016) + \dots + h (1) + h (0) + h (- 1) + \dots h (- 2016) + h (- 2017) + h (- 2018) =$ （）

A、0 B、2018 C、4036 D、4037

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9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）

A、 $24 π$ B、 $36 π$ C、 $40 π$ D、 $400 π$

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10. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = ({sin}^{4} \frac{x}{2} ， {cos}^{4} \frac{x}{2})$ ，向量 $\overset{⇀}{b} = (1 ， 1)$ ，函数 $f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的一条对称轴为直线 $x = \frac{π}{4}$ C、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上为减函数

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，虚轴长为8，右焦点为 $F$ ，且 $⊙ F$ 与双曲线的渐近线相切，若过点 $A$ 作 $⊙ F$ 的两条切线，切点分别为 $M ， N$ ，则 $| M N | =$ （）

A、8 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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12. 令 $t = \int \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} | x | d x$ ，函数 $f (x) = {\begin{matrix} \frac{2}{3} x + \frac{4}{3} (x \leq - \frac{1}{2}) \\ {log}_{\frac{1}{2}} (x + t) (x > - \frac{1}{2}) \end{matrix}$ ， $g (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{2} x^{2} - a x + 4 a (x \leq 2) \\ {(\sqrt{2})}^{x} - 1 (x > 2) \end{matrix}$ 满足以下两个条件：①当 $x \leq 0$ 时， $f (x) < 0$ 或 $g (x) < 0$ ；② $A = {f (x) | x > 0}$ ， $B = {g (x) | x > 0}$ ， $A \cup B = R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{3}]$ B、 $[- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{3})$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{3}]$

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二、填空题

13. $(1 + a x) {(1 + x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是5，则 $a =$

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14. 甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，
甲说：我做错了；
乙说：丙做对了；
丙说：我做错了．
在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.”
请问他们三个人中做对了的是

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15. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} 2 x - y - 2 \geq 0 \\ x + 2 y + 2 \geq 0 \\ x - y \geq 0 \end{matrix}$ ，若 $z = 3 x - 2 y$ 取得最小值时的最优解 $(x ， y)$ 满足 $a x + b y = 2 (a b > 0)$ ，则 $\frac{a + 4 b}{a b}$ 的最小值为

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16. 已知a，b，c分别为 $Δ A B C$ 的三个内角A，B，C的对边，b=6，且accosB=a²-b²+ $\frac{\sqrt{7}}{4}$ bc， $O$ 为 $Δ A B C$ 内一点，且满足 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{0} ， ∠ B A O = 30 °$ ，则 $| \overset{⇀}{O A} | =$

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $2 a_{n} = a_{n + 1} + a_{n - 1} (n \geq 2 ， n \in N^{+})$ ，且 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $2 a_{n} \cdot b_{n + 1} = a_{n + 1} \cdot b_{n} (n \geq 1 ， n \in N^{*})$ ，且 $b_{1} = 1$ .求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式，并求其前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 某品牌服装店五一进行促销活动，店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性，约定打折办法如下：有两个不透明袋子，一个袋中放着编号为1，2，3的三个小球，另一个袋中放着编号为4，5的两个小球（小球除编号外其它都相同），顾客需从两个袋中各抽一个小球，两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数（如，一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2，5，则该顾客所习的买衣服打7折）.要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数.已知 $A 、 B 、 C$ 三位顾客各买了一件衣服.

(1)、求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率；

(2)、 $A 、 B$ 两位顾客都选了定价为2000元的一件衣服，设 $X$ 为打折后两位顾客的消费总额，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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19. 如图，四棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 中， $A_{1} A ⊥$ 底面 $A B C D ， A_{1} B_{1} = A_{1} A = \sqrt{3} ， A B = 2 \sqrt{3} ， A C = 2$ ，平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $C_{1} C D D_{1} ， M$ 为 $C_{1} C$ 的中点.

(1)、证明： $A M ⊥ D_{1} D$ ；

(2)、若 $∠ A B C = 30^{0}$ ，且 $A C \neq B C$ ，求二面角 $B_{1} - C C_{1} - D_{1}$ 的正弦值.

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20. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且过点 $(- 1 ， \frac{3}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $P (x ， y)$ 为椭圆 $C$ 上任一点， $F$ 为其右焦点， $A 、 B$ 是椭圆的左、右顶点，点 $P^{'}$ 满足 $\overset{⇀}{P P^{'}} = (4 - x ， 0)$ .
①证明： $\frac{| \overset{⇀}{P P^{'}} |}{| \overset{⇀}{P F} |}$ 为定值；
②设 $Q$ 是直线 $x = 4$ 上的任一点，直线 $A Q 、 B Q$ 分别另交椭圆 $C$ 于 $M 、 N$ 两点，求 $| M F | + | N F |$ 的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = ln x - \frac{a x}{x + 1} (a \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t \\ y = \frac{1}{a} t^{2} \end{matrix}$ （ $t$ 为参数， $a > 0$ ），在以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 $l ： ρ cos θ - ρ sin θ + b = 0$ 与 $⊙ C_{2} ： ρ = - 4 cos θ$ 相交于 $A 、 B$ 两点，且 $∠ A O B = 90^{0}$ .

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、直线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 相交于 $M 、 N$ ，证明： $| C_{2} M | \cdot | C_{2} N |$ （ $C_{2}$ 为圆心）为定值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 |$ .

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) - x^{2} + 1 > 0$ ；

(2)、若函数 $g (x) = f (x - 1) + f (x + m)$ ，当且仅当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $g (x)$ 取得最小值，求 $x \in (- 1 ， 2)$ 时，函数 $g (x)$ 的值域.

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