广东省茂名市省际名校2018届高三下学期文数第二次联考数学试卷

试卷更新日期：2018-05-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 + 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $2 + i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $2 - i$

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2. 已知“正三角形的内切圆与三边相切，切点是各边的中点”，类比之可以猜想：正四面体的内切球与各面相切，切点是（）

A、各面内某边的中点 B、各面内某条中线的中点 C、各面内某条高的三等分点 D、各面内某条角平分线的四等分点

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3. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上为增函数，则下列结论一定正确的是（）

A、 $y = \frac{1}{f (x)}$ 在 $R$ 上为减函数 B、 $y = | f (x) |$ 在 $R$ 上为增函数 C、 $y = - \frac{1}{f (x)}$ 在 $R$ 上为增函数 D、 $y = - f (x)$ 在 $R$ 上为减函数

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4. 投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作 $S$ .在一次投掷中，已知 $S$ 是奇数，则 $S = 9$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{5}$

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5. 过抛物线 $E ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，且与其对称轴垂直的直线与 $E$ 交于 $A ， B$ 两点，若 $E$ 在 $A ， B$ 两点处的切线与 $E$ 的对称轴交于点 $C$ ，则 $Δ A B C$ 外接圆的半径是（）

A、 $(\sqrt{2} - 1) p$ B、 $p$ C、 $\sqrt{2} p$ D、 $2 p$

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6. 若 $cos (α + \frac{π}{3}) = \frac{4}{5}$ ，则 $cos (\frac{π}{3} - 2 α) =$ （）

A、 $\frac{23}{25}$ B、 $- \frac{23}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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7. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $2 b cos C + c = 2 a$ ，且 $b = \sqrt{13} ， c = 3$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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8. 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{32}{3}$ B、 $\frac{64}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9. 执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $1 - \frac{π}{4}$

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10. 《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理：“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组 ${\begin{matrix} x^{2} - 4 y \geq 0 ， \\ | x | \leq 4 ， \\ y \geq 0 \end{matrix}$ 的点 $(x ， y)$ 组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕 $y$ 轴旋转 $180 °$ ，所得几何体的体积为 $V_{1}$ ；满足不等式组 ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} \leq 4 r^{2} ， \\ x^{2} + {(y - r)}^{2} \geq r^{2} ， \\ y \geq 0 \end{matrix}$ 的点 $(x ， y)$ 组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕 $y$ 轴旋转 $180 °$ ，所得几何体的体积为 $V_{2}$ .利用祖暅原理，可得 $V_{1} =$ （）

A、 $\frac{32}{3} π$ B、 $\frac{64}{3} π$ C、 $32 π$ D、 $64 π$

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11. 若对任意的 $x > 0$ ，不等式 $x^{2} - 2 m ln x \geq 1 (m \neq 0)$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 ${1}$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[e ， + \infty)$

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二、填空题

12. 已知 $\overset{⇀}{a}$ 为单位向量， $\overset{⇀}{b} = (1 ， \sqrt{3})$ ，且 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = 1$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 夹角的大小是．

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13. 若实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 1 ， \\ x - y + 1 \geq 0 ， \\ 3 x + 2 y \leq 6 ， \\ x \in N ， y \in N ， \end{matrix}$ 则 $z = x - 2 y$ 的最大值是．

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14. 将函数 $f (x) = 1 - 2 \sqrt{3} {cos}^{2} x - {(sin x - cos x)}^{2}$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ ，则函数 $g (x)$ 的单调递增区间是．

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15. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为 $B$ ，右顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ， $E$ 为椭圆下半部分上一点，若椭圆在 $E$ 处的切线平行于 $A B$ ，且椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则直线 $E F$ 的斜率是．

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三、解答题

16. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d$ 不为零， $a_{4}^{2} = - a_{1} a_{6}$ ，且 $a_{2} \neq 0$ .

(1)、求 $a_{1}$ 与 $d$ 的关系式；

(2)、当 $d = \frac{2}{9}$ 时，设 $b_{n} = \frac{2}{81 a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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17. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 为菱形，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D$ .

(1)、证明：四边形 $B B_{1} D_{1} D$ 为矩形；

(2)、若 $A B = A_{1} A ， ∠ B A D = 60 °$ ， $A_{1} C ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ，求四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积.

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18. 某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩 $x$ 与物理成绩 $y$ 如下表：
数据表明 $y$ 与 $x$ 之间有较强的线性关系.
参考数据：回归直线的系数 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $P (K^{2} \geq 6.635) = 0.01 ， P (K^{2} \geq 10.828) = 0.01$ .

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；

(3)、本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为 $50 %$ 和 $60 %$ ，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？

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19. 已知圆 $C_{1} ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ 内有一动弦 $A B$ ，且 $| A B | = 2$ ，以 $A B$ 为斜边作等腰直角三角形 $P A B$ ，点 $P$ 在圆外.

(1)、求点 $P$ 的轨迹 $C_{2}$ 的方程；

(2)、从原点 $O$ 作圆 $C_{1}$ 的两条切线，分别交 $C_{2}$ 于 $E ， F ， G ， H$ 四点，求以这四点为顶点的四边形的面积 $S$ .

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20. 已知函数 $f (x) = ln x + \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、若函数 $g (x) = a x - a$ ，当 $x > 1$ 时， $g (x)$ 的图象总在 $f (x)$ 的图象的下方，求 $a$ 的取值范围.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{2 cos θ}{1 - {cos}^{2} θ}$ ，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + t c o s α ， \\ y = 1 + t s i n α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数， $α$ 为倾斜角).

(1)、若 $α = \frac{3 π}{4}$ ，求 $l$ 的普通方程和 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 有两个不同的交点 $A ， B$ ，且 $P (2 ， 1)$ 为 $A B$ 的中点，求 $| A B |$ .

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22. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + | x - 1 |$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值 $a$ ；

(2)、根据（1）中的结论，若 $m^{3} + n^{3} = a$ ，且 $m > 0 ， n > 0$ ，求证： $m + n \leq 2$ .

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