广东省茂名市省际名校2018届高三下学期理数第二次联考试卷

试卷更新日期：2018-05-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = {log}_{2} (x^{2} - 8 x + 15)}$ ， $B = {x | a < x < a + 1}$ ，若 $A \cap^{} B = \emptyset$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 3]$ B、 $(- \infty ， 4]$ C、 $(3 ， 4)$ D、[3，4]

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2. 若 $cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{4}{5}$ ，则 $sin (α - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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3. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上为增函数，则下列结论一定正确的是（）

A、 $y = \frac{1}{f (x)}$ 在 $R$ 上为减函数 B、 $y = | f (x) |$ 在 $R$ 上为增函数 C、 $y = 2^{- f (x)}$ 在 $R$ 上为减函数 D、 $y = - {[f (x)]}^{3}$ 在 $R$ 上为增函数

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4. 投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作 $S$ .在一次投掷中，已知 $S$ 是奇数，则 $S = 9$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{5}$

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5. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为2，则 $\overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{B D} =$ （）

A、2 B、3 C、6 D、12

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6. 以 $(0 ， b)$ 为圆心， $a$ 为半径的圆与双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线相离，则 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(1 ， \frac{\sqrt{5} + 1}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{5} + 1}{2} ， + \infty)$ C、 $(1 ， \frac{\sqrt{5} + 3}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{5} + 3}{2} ， + \infty)$

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7. $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且对 $\forall n \in N^{*}$ 都有 $2 S_{n} = 3 a_{n} + 4$ ，则 $S_{n} =$ （）

A、 $2 - 2 \times 3^{n}$ B、 $4 \times 3^{n}$ C、 $- 4 \times 3^{n - 1}$ D、 $- 2 - 2 \times 3^{n - 1}$

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8. 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{32}{3}$ B、 $\frac{64}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9. 执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $1 - \frac{π}{4}$

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10. 《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理：“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组 ${\begin{matrix} x^{2} - 4 y \geq 0 ， \\ | x | \leq 4 ， \\ y \geq 0 \end{matrix}$ 的点 $(x ， y)$ 组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕 $y$ 轴旋转 $180 °$ ，所得几何体的体积为 $V_{1}$ ；满足不等式组 ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} \leq 4 r^{2} ， \\ x^{2} + {(y - r)}^{2} \geq r^{2} ， \\ y \geq 0 \end{matrix}$ 的点 $(x ， y)$ 组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕 $y$ 轴旋转 $180 °$ ，所得几何体的体积为 $V_{2}$ .利用祖暅原理，可得 $V_{1} =$ （）

A、 $\frac{32}{3} π$ B、 $\frac{64}{3} π$ C、 $32 π$ D、 $64 π$

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11. 不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数 $X$ 的数学期望是（）

A、 $\frac{18}{5}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{36}{7}$ D、 $\frac{16}{3}$

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12. 记函数 $f (x) = sin 2 n x - cos n x$ 在区间 $[0 ， π]$ 内的零点个数为 $a_{n} (n \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前20项的和是（）

A、430 B、840 C、1250 D、1660

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二、填空题

13. $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 + 3 i$ ，则 $| z^{2} | =$ ．

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14. 若实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 1 ， \\ x - y + 1 \geq 0 ， \\ 3 x + 2 y \leq 6 ， \\ x \in N ， y \in N ， \end{matrix}$ 则 $z = x - 2 y$ 的所有取值的集合是．

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15. 以坐标原点 $O$ 为圆心的圆与抛物线及其准线 $y^{2} = 4 x$ 分别交于点 $A ， B$ 和 $C ， D$ ，若 $| A B | = | C D |$ ，则圆 $O$ 的方程是．

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16. 若对任意的 $x > 0$ ，不等式 $x^{2} - 2 (m^{2} + m + 1) ln x \geq 1$ 恒成立，则 $m =$ ．

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $sin A = 2 sin C ， 2 b = 3 c$ .

(1)、 $cos C$ ；

(2)、若 $∠ B$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ ，求 $B D$ 的长.

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18. 某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩 $x$ 与物理成绩 $y$ 如下表：
数据表明 $y$ 与 $x$ 之间有较强的线性关系.
参考数据：回归直线的系数 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $P (K^{2} \geq 6.635) = 0.01 ， P (K^{2} \geq 10.828) = 0.01$ .

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；

(3)、本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为 $50 %$ 和 $60 %$ ，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？

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19. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 为菱形，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D$ .

(1)、证明：四边形 $B B_{1} D_{1} D$ 为矩形；

(2)、若 $A B = A_{1} A ， ∠ B A D = 60 °$ ， $A_{1} A$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $30 °$ ，求二面角 $A_{1} - B B_{1} - D$ 的余弦值.

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20. 设椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过 $E$ 的左焦点 $F_{1}$ 作直线 $l_{1}$ 与 $E$ 交于 $A ， B$ 两点，过右焦点 $F_{2}$ 作直线 $l_{2}$ 与 $E$ 交于 $C ， D$ 两点，且 $l_{1} / / l_{2}$ ，以 $A ， B ， C ， D$ 为顶点的四边形的面积 $S = \frac{8}{3}$ ，求 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的方程.

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21. 已知 $f (x) = ln x - a x + a ， a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2}$ 有三个不同的零点，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{2 cos θ}{1 - {cos}^{2} θ}$ ，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + t c o s α ， \\ y = 1 + t s i n α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数， $α$ 为倾斜角).

(1)、若 $α = \frac{3 π}{4}$ ，求 $l$ 的普通方程和 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 有两个不同的交点 $A ， B$ ，且 $P (2 ， 1)$ 为 $A B$ 的中点，求 $| A B |$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + | x - 1 |$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值 $a$ ；

(2)、根据（1）中的结论，若 $m^{3} + n^{3} = a$ ，且 $m > 0 ， n > 0$ ，求证： $m + n \leq 2$ .

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