甘肃省兰州市2018届高三理数第二次实战考试试卷

试卷更新日期：2018-05-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 < 0}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）

A、 ${x | x \leq - 2$ 或 $x \geq 2}$ B、 ${x | x < - 2$ 或 $x > 2}$ C、 ${x | - 2 < x < 2}$ D、 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$

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2. 已知在复平面内，复数 $z$ 对应的点是 $Z (1 ， - 2)$ ，则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $1 + 2 i$

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3. 等比数列 ${a_{n}}$ 中各项均为正数， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和，满足 $2 S_{3} = 8 a_{1} + 3 a_{2} ， a_{4} = 16$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、 $9$ B、 $15$ C、 $18$ D、 $30$

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4. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，若曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} + y - 1 = 0 (x > 0 ， y > 0)$ ，则落入阴影部分的点的个数的估计为（）

A、 $5000$ B、 $6667$ C、 $7500$ D、 $7854$

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5. 已知非零单位 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 向量满足 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = | \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b} - \overset{⇀}{a}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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6. 已知点 $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点，点 $M$ 在双曲线上， $Δ A B M$ 为等腰三角形，且顶角为 $120^{0}$ ，则该双曲线的方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $x^{2} - y^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y^{2} = 6 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l ， P$ 为抛物线上一点， $P A ⊥ l ， A$ 为垂足，若直线 $A F$ 的斜率 $k = - \sqrt{3}$ ，则线段 $P F$ 的长为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《九章算术》中提出多项式求值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，依次输入 $a$ 的的值为 $2 ， 2 ， 5$ ，则输出的 $x =$ （）

A、 $7$ B、 $12$ C、 $17$ D、 $34$

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9. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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10. 设 $n \in N^{+}$ ，则 $\sqrt{\underset{2 n}{\underset{︸}{11 \dots 1}} - \underset{2 n}{\underset{︸}{22 \dots 2}}}$ （）

A、 $\underset{n}{\underset{︸}{33 \dots 3}}$ B、 $\underset{2 n - 1}{\underset{︸}{33 \dots 3}}$ C、 $\underset{2^{n} - 1}{\underset{︸}{33 \dots 3}}$ D、 $\underset{2 n}{\underset{︸}{33 \dots 3}}$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{sin x}{2 + cos x}$ ，如果 $x > 0$ 时，函数 $f (x)$ 的图象恒过在直线 $y = k x$ 的下方，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $[\frac{1}{3} ， + \infty)$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， + \infty)$ D、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的可导函数，若在 $R$ 上 $3 f (x) > f^{'} (x)$ 有恒成立，且 $f (1) = e^{3} (e$ 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (0) < 1$ C、 $f (2) < e^{6}$ D、 $f (2) > e^{6}$

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二、填空题

13. 已知变量 $x ， y$ 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，
若 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = 1.3 x - 1$ ，则 $m =$ ．

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14. 若变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 2 y \leq 2 \\ 3 x + y \leq 4 \\ x - y \geq - 4 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = y - 2 x$ 的最大值是．

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15. ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项的值为．（用数字作答）

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{2} = \frac{1}{3}$ ，若 $a_{n} a_{n - 1} + 2 a_{n} a_{n + 1} = 3 a_{n - 1} a_{n + 1} (n \geq 2 ， n \in N^{+})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n} =$ ．

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三、解答题

17. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (sin x ， \sqrt{3} cos x) ， \overset{⇀}{b} = (cos x ， - cos x)$ ，函数 $f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的图象对称轴的方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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18. 如图， $A B C D$ 是边长为 $a$ 的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $E B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $F D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E B = 2 F D = \sqrt{3} a$ .
（Ⅰ）求证： $E F ⊥ A C$ ；
（Ⅱ）求直线 $C E$ 与平面 $A B F$ 所成角的正弦值.

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19. 某智能共享单车备有 $A ， B$ 两种车型，采用分段计费的方式营用 $A$ 型单车每 $30$ 分钟收费 $0.5$ 元（不足 $30$ 分钟的部分按 $30$ 分钟计算）， $B$ 型单车每 $30$ 分钟收费 $1$ 元（不足 $30$ 分钟的部分按 $30$ 分钟计算），现有甲乙丙三人，分别相互独立第到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙不超过 $30$ 分钟还车的概率分别为 $\frac{3}{4} ， \frac{2}{3} ， \frac{1}{2}$ ，并且三个人每人租车都不会超过 $60$ 分钟，甲乙均租用 $A$ 型单车，丙租用 $B$ 型单车.

(1)、求甲乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；

(2)、设甲乙丙三人所付费用之和为随机变量 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望.

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20. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 为椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，点 $P (1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆上，且 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 4$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过 $F_{1}$ 的直线 $l_{1} ， l_{2}$ 分别交椭圆 $E$ 于 $A ， C$ 和 $B ， D$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，问是否存在常数 $λ$ ，使得 $\frac{1}{| A C |} ， λ ， \frac{1}{| B D |}$ 等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{m x}{ln x}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e^{2} ， f (e^{2}))$ 处的切线与直线 $2 x + y = 0$ 垂直（其中 $e$ 为自然对数的底数）

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及单调递减区间；

(2)、若存在 $x \in [e ， + \infty)$ ，使函数 $g (x) = a e ln x + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{a + e}{2} ln x \cdot f (x) \leq a$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知直线 $l$ 的极坐标方程是 $ρ sin (θ - \frac{π}{3}) = 0$ ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线 $C$ 的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 2 c o s α \\ y = 2 + 2 s i n α \end{matrix} (α$ 为参数）.

(1)、求直线 $l$ 被曲线 $C$ 截得的弦长；

(2)、从极点作曲线 $C$ 的弦，求各位中点轨迹的极坐标方程.

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23. 设函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | x + a |$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $y = f (x)$ 的图象与直线 $y = 3$ 围成的区域的面积；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $1$ ，求 $a$ 的值.

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