河南省2018届普通高中毕业班4月文数高考适应性考试试卷

试卷更新日期：2018-05-08 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x | - 3 < x < 3}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $(- 3 ， 3)$ B、 $(- 3 ， 6)$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 $(- 3 ， 1)$

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2. 若复数 $z = \frac{4 i}{1 - i}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2 + 2 i$ B、 $- 2 - 2 i$ C、 $2 + 2 i$ D、 $2 - 2 i$

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3. 下列说法中，正确的是（）

A、命题“若 $a m^{2} < b m^{2}$ ，则 $a < b$ ”的逆命题是真命题 B、命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} > 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x \leq 0$ ” C、命题“ $p$ 或 $q$ ”为真命题，则命题“ $p$ ”和命题“ $q$ ”均为真命题 D、已知 $x \in R$ ，则“ $x > 1$ ”是“ $x > 2$ ”的充分不必要条件

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4. 在一组样本数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，…， $(x_{n} ， y_{n})$ （ $n \geq 2$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{n}$ 不全相等）的散点图中，若所有样本点 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ 都在直线 $y = - 3 x + 1$ 上，则这组样本数据的样本相关系数为（）

A、-3 B、0 C、-1 D、1

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5. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线为 $l$ ，动点 $(a ， b)$ 在直线 $l$ 上，则 $2^{a} + 2^{- b}$ 的最小值是（）

A、4 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 执行如图所示的程序框图，则输出 $n$ 的值为（）

A、14 B、13 C、12 D、11

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7. 函数 $y = sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图像与函数 $y = cos (x - \frac{π}{3})$ 的图像（）

A、有相同的对称轴但无相同的对称中心 B、有相同的对称中心但无相同的对称轴 C、既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D、既无相同的对称中心也无相同的对称轴

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8. 三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中直角三角形中较小的锐角 $α$ 满足 $sin α + cos α = \frac{7}{5}$ ，现在向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）

A、 $\frac{1}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $\frac{3}{5}$

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9. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的三视图如图所示，则四棱锥 $P - A B C D$ 的五个面中面积的最大值是（）

A、3 B、6 C、8 D、10

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10. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点， $P$ 是 $C$ 上一点，若 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 6 a$ ，且 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的最小内角的大小为 $30^{\circ}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程是（）

A、 $x \pm \sqrt{2} y = 0$ B、 $\sqrt{2} x \pm y = 0$ C、 $x \pm 2 y = 0$ D、 $2 x \pm y = 0$

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{n} = 2 n + λ$ ，若数列 ${S_{n}}$ $(n \geq 5 ， n \in N^{*})$ 为递增数列，则实数 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3 ， + \infty)$ B、 $(- 10 ， + \infty)$ C、 $(- 11 ， + \infty)$ D、 $(- 12 ， + \infty)$

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12. 定义域为 $[a ， b]$ 的函数 $y = f (x)$ 的图象的两个端点分别为 $A (a ， f (a))$ ， $B (b ， f (b))$ ， $M (x ， y)$ 是 $f (x)$ 图象上任意一点，其中 $x = λ a + (1 - λ) b$ $(0 < λ < 1)$ ，向量 $\overset{⇀}{B N} = λ \overset{⇀}{B A}$ .若不等式 $| \overset{⇀}{M N} | \leq k$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上为“ $k$ 函数”.若函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 在 $[1 ， 2]$ 上为“ $k$ 函数”，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2} - \sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[\frac{3}{2} + \sqrt{2} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} 2 x - y \leq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \\ x + 2 y \leq 6 \end{matrix}$ ，则 $z = x - y - 1$ 的最小值为

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14. 已知点 $A (0 ， 1)$ ， $B (1 ， - 2)$ ，向量 $\overset{⇀}{A C} = (4 ， - 1)$ ，则 $| \overset{⇀}{B C} | =$

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15. 已知点 $F$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点， $M$ ， $N$ 是该抛物线上两点， $| M F | + | N F | = 6$ ，则线段 $M N$ 的中点的横坐标为

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16. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若对于任意 $x_{1} ， x_{2} \in D$ ，当 $x_{1} + x_{2} = 2 a$ 时，恒有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 2 b$ ，则称点 $(a ， b)$ 为函数 $y = f (x)$ 图象的对称中心.研究函数 $f (x) = 2 x + 3 cos (\frac{π}{2} x) - 3$ 的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 $f (\frac{1}{2018}) + f (\frac{2}{2018})$ $+ \cdot \cdot \cdot + f (\frac{4034}{2018}) + f (\frac{4035}{2018})$ 的值为

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三、解答题

17. $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为 $S$ ，已知 $a^{2} + 4 S = b^{2} + c^{2}$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，求角 $C$ .

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $P A$ ， $B C$ 的中点，且 $A D = 2 P D = 2$ .

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求点 $N$ 到平面 $P A B$ 的距离.

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19. 进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”.该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的 $2 \times 2$ 列联表：

赞同限行
不赞同限行
合计
没有私家车
90
20
110
有私家车
70
40
110
合计
160
60
220
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“是否赞同限行与是否拥有私家车”有关；

(2)、为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出3名进行电话回访，求3人中至少抽到1名“没有私家车”人员的概率.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $Δ P Q F_{2}$ 的周长为8.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设过点 $M (3 ， 0)$ 的直线交椭圆 $C$ 于不同两点 $A$ ， $B$ . $N$ 为椭圆上一点，且满足 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} = t \overset{⇀}{O N}$ （ $O$ 为坐标原点），当 $| A B | < \sqrt{3}$ 时，求实数 $t$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = a (x^{2} - x) - ln x (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知直线 $l$ ： $ρ sin (θ + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} m$ ，曲线 $C$ ： ${\begin{matrix} x = 1 + \sqrt{3} c o s θ \\ y = \sqrt{3} s i n θ \end{matrix}$ .

(1)、求直线 $l$ 的直角坐标方程与曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A B | \geq 3$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | x + 2 |$ ， $g (x) = | x + 1 | - | x - a | + a$ .

(1)、解不等式 $f (x) > 3$ ；

(2)、对于 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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	赞同限行	不赞同限行	合计
没有私家车	90	20	110
有私家车	70	40	110
合计	160	60	220

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828