海南省2018届高三理数第二次联合考试试卷

试卷更新日期：2018-05-08 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设集合 $A = {x | y = - \sqrt{x}}$ ， $B = {y | y = lg x}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $R$ D、 $(- \infty ， 0]$

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2. 已知复数 $z = (m - 3) + (m - 1) i$ 在复平面内对应的点在第二象限，则整数 $m$ 的取值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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3. 设向量 $\overset{⇀}{a} = (x ， - 4)$ ， $\overset{⇀}{b} = (1 ， - x)$ ，若向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 同向，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $\pm 2$ D、 $0$

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 3$ ，且 $S_{9} = 6 S_{3}$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差 $d =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为（）

A、 $208 + \frac{4 π}{3}$ B、 $216 + \frac{4 π}{3}$ C、 $208 + \frac{32 π}{3}$ D、 $216 + \frac{32 π}{3}$

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6. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 3 y + 6 \geq 0 \\ x + y - 6 \leq 0 \\ x + 3 y - 6 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = x - y$ 的最小值是（）

A、0 B、-1 C、-2 D、-3

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7. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了242盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯（）

A、81盏 B、112盏 C、114盏 D、162盏

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8. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $S =$ （）

A、17 B、33 C、65 D、129

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9. 将曲线 $y = sin (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到曲线 $y = f (x)$ ，若函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $- \frac{π}{3}$ D、 $- \frac{π}{6}$

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线与圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 相切，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{16}{9}$ D、 $\frac{25}{16}$

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11. 在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（）

A、甲、乙 B、乙、丙 C、甲、丁 D、丙、丁

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12. 在四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B = A C = \sqrt{10}$ ， $B C = 2$ ， $E$ 为棱 $B C$ 的中点，点 $G$ 在 $A E$ 上且满足 $A G = 2 G E$ ，若四面体 $A B C D$ 的外接球的表面积为 $\frac{244}{9} π$ ，则 $tan ∠ A G D =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

13. 若 $x = 1$ 是函数 $f (x) = x^{3} + \frac{a}{x}$ 的一个极值点，则实数 $a =$

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14. 如图，小林从位于街道 $A$ 处的家里出发，先到 $B$ 处的二表哥家拜年，再和二表哥一起到位于 $C$ 处的大表哥家拜年，则小林到大表哥家可以选择的最短路径的条数为

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15. 某超市经营的某种包装优质东北大米的质量 $X$ （单位： $k g$ ）服从正态分布 $N (25 ， 0.04)$ ，任意选取一袋这种大米，质量在 $24.8 \sim 25.4 k g$ 的概率为（附：若 $Z \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (| Z - μ | < σ) = 0.6826$ ， $P (| Z - μ | < 2 σ) = 0.9544$ ， $P (| Z - μ | < 3 σ) = 0.9974$ ）

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16. 已知 F 是抛物线 C ： $x^{2} = 12 y$ 的焦点， P 是 C 上一点，直线 FP 交直线 y=-3 于点 Q .若 $\overset{⇀}{P Q} = 2 \overset{⇀}{F Q}$ ，则 |PQ| .

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三、解答题

17. $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $2 sin B sin C + cos B$ $+ 2 cos (B + C) = 0$ ，且 $sin B \neq 1$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $5 sin B = 3 sin A$ ，且 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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18. 从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如下.
附表及公式：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.050
0.010
0.001
$k_{0}$
3.841
6.635
10.828
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

(1)、求频率分布直方图中 $x$ 的值并估计这50户用户的平均用电量；

(2)、若将用电量在区间 $[50 ， 150)$ 内的用户记为 $A$ 类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间 $[250 ， 350)$ 内的用户记为 $B$ 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，打分情况见茎叶图：
①从 $B$ 类用户中任意抽取1户，求其打分超过85分的概率；
②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 $95 %$ 的把握认为“满意度与用电量高低有关”？

满意
不满意
合计
$A$ 类用户

$B$ 类用户

合计

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A B = 2 A D$ ， $B D = \sqrt{3} A D$ ，且 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $Q$ 为 $P C$ 的中点，且 $\overset{⇀}{A P} \cdot \overset{⇀}{B Q} = 1$ ，求二面角 $Q - B D - C$ 的大小.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设动点 $M$ 到坐标原点的距离与到 $x$ 轴的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，且 $d_{1}^{2} + 3 d_{2}^{2} = 4$ ，记动点 $M$ 的轨迹为 $Ω$ .

(1)、求 $Ω$ 的方程；

(2)、设过点 $(0 ， - 2)$ 的直线 $l$ 与 $Ω$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，当 $Δ A O B$ 的面积最大时，求 $| A B |$ .

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21. 已知函数 $f (x) = ln (1 + x) - ln (1 - x)$ .

(1)、证明：直线 $y = 2 x$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切；

(2)、若 $f (x) > k (x^{3} - 3 x)$ 对 $x \in (0 ， 1)$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x = 0$ ，直线 $l_{1}$ ： $x - \sqrt{3} y = 0$ ，直线 $l_{2}$ ： $\sqrt{3} x - y = 0$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)、写出曲线 $C$ 的参数方程以及直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与曲线 $C$ 分别交于 $O$ ， $A$ 两点，直线 $l_{2}$ 与曲线 $C$ 分别交于 $O$ ， $B$ 两点，求 $Δ A O B$ 的面积.

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23. 设函数 $f (x) = | x + a | + 2 a$ .

(1)、若不等式 $f (x) \leq 1$ 的解集为 ${x | - 2 \leq x \leq 4}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，若不等式 $f (x) \geq k^{2} - k - 4$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828

	满意	不满意	合计
$A$ 类用户
$B$ 类用户
合计