陕西省2018年高三理数教学质量检测试卷（二）

试卷更新日期：2018-05-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x + 2 \geq 0} ， B = (2^{x} < 4)$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${x | x \in R}$ C、 ${x | x \leq 1}$ D、 ${x | x 〉 2}$

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2. 若 $(1 - m i) (m + i) < 0$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $m$ 的值为（）

A、-1 B、-2 C、-3 D、-4

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3. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2 ， 3) ， \overset{⇀}{b} = (x ， 4) ， \overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ 则 $x =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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4. 已知数列 $｛ a_{n} ｝$ 是等差数列， $a_{1} = 2$ ，其中公差 $d \neq 0$ .若 $a_{5}$ 是 $a_{3}$ 和 $a_{8}$ 的等比中项，则 $S_{18} =$ （）

A、398 B、388 C、189 D、199

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5. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则该函数的图象（）

A、关于点 $(\frac{π}{12} ， 0 ）$ 对称 B、关于点 $(\frac{π}{6} ， 0 ）$ 对称 C、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称

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6. 某程序框图如右图所示，该程序运行输出的 $k$ 值是（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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7. 已知 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y - 3 = 0$ ，点 $M (- 2 ， 0)$ 是 $C$ 外一点，则过点 $M$ 的圆的切线的方程是（）

A、 $x + 2 = 0 ， 7 x － 24 y + 14 = 0$ B、 $y + 2 = 0 ， 7 x + 24 y + 14 = 0$ C、 $x + 2 = 0 ， 7 x + 24 y + 14 = 0$ D、 $y + 2 = 0 ， 7 x － 24 y + 14 = 0$

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8. 在由不等式组 ${\begin{matrix} 2 x - y + 14 \geq 0 ， \\ x \leq - 3 ， \\ y \geq 2 ， \end{matrix}$ 所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）

A、 $9 - \frac{π}{2}$ B、 $9 - π$ C、 $1 - \frac{π}{9}$ D、 $1 － \frac{π}{18}$

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9. 已知函数 $f (x) = sin x sin (x + 3 θ)$ 是奇函数，其中 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $f (x)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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10. 已知三棱锥 $S － A B C$ 中， $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $∠ A C B = 30 °$ ， $A C = 2 A B = 2 \sqrt{3} . S A = 1$ .则该三棱锥的外接球的体积为（）

A、 $\frac{13}{8} \sqrt{13} π$ B、 $13 π$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{6} π$ D、 $\frac{13 \sqrt{13}}{6} π$

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11. 已知点 $F_{1} 、 F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右两个焦点，点 $P$ 是双曲线右支上一点，若 $P$ 点的横坐标 $x_{0} = \frac{4}{3} a$ 时，有 $F_{1} P ⊥ F_{2} P$ ，则该双曲线的离心率 $e$ 为（）

A、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{9}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = e + 2 ， (x < 0)$ 与 $g (x) = \ln (x + a) + 2$ 的图象上存在关于 $y$ 轴对称的点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{e})$ B、 $(- \infty ， e)$ C、 $(- \frac{1}{e} ， e)$ D、 $(- e ， \frac{1}{e})$

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二、填空题

13. 二项式 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} - x^{2})}^{10}$ 展开式中含 $x^{10}$ 项的系数是

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} ， x \geq 3 ， \\ f (x + 1) ， x < 3 \end{matrix}$ 则 $f (\log_{2} 6)$ 的值为．

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15. 已知函数 $f (x) = 2 ln x$ 和直线 $l ： 2 x － y + 6 = 0$ ，若点 $P$ 是函数 $f （ x ）$ 图象上的一点，则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的最小值为

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $b = \frac{b}{a + c} = 1 - \frac{\sin C}{\sin A + \sin B}$ ，且 $b = 5 ， \vec{A C} \cdot \vec{A B} = 5$ ，则 $△ A B C$ 的面积是．

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三、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $S_{n} - 2 a_{n} = n - 4$ .

(1)、证明： ${S_{n} - n + 2}$ 为等比数列；

(2)、求数列 ${S_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间频（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是 $［ 0 ， 100 ］$ ，样本数据分组为 $［ 0 ， 20 ），［ 20 ， 40 ），［ 40 ， 60 ），［ 60 ， 80 ），［ 80 ， 100]$ .

(1)、求直方图中 $x$ 的值；

(2)、如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生 1200名请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；

(3)、从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）.

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19. 如图，在三棱柱 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} A = A B ， ∠ A B C = 90 °$ 侧面 $A_{1} A B B_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ .

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、若 $A C = 5 ， B C = 3 ， ∠ A_{1} A B = 60 °$ ，求二面角 $B - A_{1} C - C_{1}$ 的余弦值.

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20. 已知 $A （－ 2 ， 0 ）， B （ 2 ， 0 ）$ 为椭圆 $C$ 的左、右顶点， $F$ 为其右焦点， $P$ 是椭圆 $C$ 上异于 $A ， B$ 的动点，且 $△ A P B$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $A P$ 与椭圆在点 $B$ 处的切线交于点 $D$ ，当点 $P$ 在椭圆上运动时，求证：以 $B D$ 为直径的圆与直线 $P F$ 恒相切.

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21. 已知函数 $f (x) = a e_{x} + x^{2} ， g (x) = \sin x + b x$ ，直线 $l$ 与曲线 $C_{1} ： y = f (x)$ 切于点 $(0 ， f (0))$ 且与曲线 $C_{2} ： y = g (x)$ 切于点 $(\frac{π}{2} ， g (\frac{π}{2}))$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值和直线 $l$ 的方程；

(2)、求证： $a e_{x} + x^{2} - b x - \sin x > 0$ .

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22. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 的方程为 $\sqrt{3} x - y - 2 \sqrt{3} = 0$ 以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $2 \cos θ = ρ (1 - \cos^{2} θ)$ .

(1)、写出直线 $l$ 的一个参数方程与曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、已知直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，试求 $A B$ 中点 $N$ 的坐标.

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23. 已知不等式 $| x + 2 | － 3 | x | \geq a$ .

(1)、当 $a = 0$ ，解该不等式；

(2)、 $a$ 取何值时，该不等式成立.

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