重庆綦江区2017—2018学年高二理数上学期联考试卷

试卷更新日期：2018-05-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\exists x \in R ，使得 x^{2} = - 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \notin R ，都有 x^{2} = - 1$ B、 $\exists x \notin R ，使得 x^{2} = - 1$ C、 $\exists x \in R ，使得 x^{2} \neq - 1$ D、 $\forall x \in R ，都有 x^{2} \neq - 1$

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2. 已知两直线 $l_{1} ： 2 x - y + 3 = 0$ ， $l_{2} ： m x + 2 y + 1 = 0$ 平行，则 $m$ 的值是（）

A、 $- 4$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $4$

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3. 圆 ${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ 的位置关系为（）

A、内切 B、外切 C、相交 D、相离

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4. 命题“若 $α = \frac{π}{2}$ ，则 $sin α = 1$ ”的逆否命题是（）

A、若 $α \neq \frac{π}{2}$ ，则 $sin α \neq 1$ B、若 $α = \frac{π}{2}$ ，则 $sin α \neq 1$ C、若 $sin α \neq 1$ ，则 $α \neq \frac{π}{2}$ D、若 $sin α = 1$ ，则 $α = \frac{π}{2}$

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5. 已知 $m ， n$ 表示两条不同的直线， $α ， β$ 表示两个不同的平面，且 $m \subset α ， n \subset β$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $α / / β$ ，则 $m / / n$ C、若 $m / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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6. 已知直线 $l$ 的倾斜角为 $α$ ，斜率为 $k$ ，那么“ $α > \frac{π}{3}$ ”是“ $k > \sqrt{3}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线过点 $(1 ， 1)$ ，且双曲线的一个焦点在抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的准线上，则双曲线的方程为（）

A、 $x^{2} - y^{2} = 4$ B、 $x^{2} - y^{2} = 3$ C、 $x^{2} - y^{2} = 2$ D、 $x^{2} - y^{2} = 1$

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8. 已知点 $M (\sqrt{5} ， 0)$ 及抛物线 $x^{2} = 8 y$ 上一动点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ，则 $y_{0} + | P M |$ 的最小值是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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9. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积是（）

A、 $36$ B、 $32$ C、 $30$ D、 $27$

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10. 如图，在圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 上任取一点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线段 $P D$ ， $D$ 为垂足. 当点 $P$ 在圆上运动时，满足 $\overset{⇀}{P D} = t \overset{⇀}{M D}$ $(t \geq 2)$ 的动点 $M$ 的轨迹是椭圆，求这个椭圆离心率的取值范围（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{4}]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$

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11. 已知点A、B、C、D在同一球面上， $A B = B C = \sqrt{2} ， A C = 2$ ， $D B ⊥ 平面 A B C$ ，三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{2}{3}$ ，则这个球的体积为（）

A、 $8 \sqrt{2} π$ B、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ C、 $16 π$ D、 $\frac{32 π}{3}$

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 和 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，椭圆 $C$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过椭圆上一点 $P$ 和原点 $O$ 的直线交圆 $O$ 于 $M$ 、 $N$ 两点.若 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = 4$ ，则 $| P M | \cdot | P N |$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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二、填空题

13. 已知空间两点 $A (2 ， 1 ， 7)$ 、 $B (- 1 ， 1 ， 3)$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点间的距离为.

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14. 14．圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 截直线 $y = x - 4$ 所得的弦长为.

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15. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C = A A_{1}$ ，则异面直线 $B A_{1}$ 与 $A C_{1}$ 所成的角等于.

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ .过 $F_{2}$ 作直线 $y = - \frac{b}{a} x$ 的垂线l ，垂足为 $Q$ ，l交双曲线的左支于点 $P$ ，若 $| F_{2} P | = 2 | F_{2} Q |$ ，则双曲线的离心率 $e =$ .

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三、解答题

17. 已知两直线 $l_{1} ： x + y - 2 = 0$ 和 $l_{2} ： 2 x - y + 5 = 0$ 的交点 $P$ .

(1)、求经过点 $P$ 和点 $Q (3 ， 2)$ 的直线的方程；

(2)、求经过点 $P$ 且与 $l_{2}$ 垂直的直线的方程．

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P D ⊥ 面 ABCD$ ， $P D = D C$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $P A / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、证明：平面 $B D E ⊥$ 平面 $P B C$ .

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19. 已知直线 $l$ ： $y = x + m$ $(m \in R)$ 与直线 $l^{'}$ 关于 $x$ 轴对称.

(1)、若直线 $l$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 8$ 相切于点 $P$ ，求 $m$ 的值和 $P$ 点的坐标；

(2)、直线 $l^{'}$ 过抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点，且与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ 的值 .

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20. 如图，边长为2的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $F$ 是 $B C$ 的中点，将△ $A E D$ 、△ $D C F$ 分别沿 $D E$ 、 $D F$ 折起，使 $A$ 、 $C$ 两点重合于点 $A^{'}$ ，连接 $E F$ ， $A^{'} B$ .

(1)、求证： $A^{'} D ⊥ E F$ ；

(2)、求三棱锥 $A^{'} - D E F$ 的体积.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形，且 $∠ D A B = 60 °$ .点 $E$ 是棱 $P C$ 的中点，平面 $A B E$ 与棱 $P D$ 交于点 $F$ .

(1)、求证： $A B$ ∥ $E F$ ；

(2)、若 $P A = P D = A D$ ，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求平面 $P A F$ 与平面 $A F E$ 所成的锐二面角的余弦值.

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $A (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆C上.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设动直线 $l$ 与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与 $l$ 相交两点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ （两点均不在坐标轴上），且使得直线 $O P_{1}$ ， $O P_{2}$ 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.

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