2018年高考数学提分专练：第19题 空间几何（解答题）
试卷更新日期：2018-05-08 类型：二轮复习
一、真题演练
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1. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
(1)、证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)、若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求该四棱锥的侧面积． -
2. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
(1)、证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)、若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值． -
3. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（Ⅰ）证明：直线BC∥平面PAD；
（Ⅱ）若△PCD面积为2 ，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
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4.
如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；
（Ⅱ）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
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5.
如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
(1)、证明：AC⊥BD；(2)、已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
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6.
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
二、模拟实训
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7. 如图，直三棱柱 中，侧面 是正方形， .
(1)、证明： ；(2)、当三棱锥 的体积为2， 时，求点 到平面 的距离. -
8. 如图，四边形 与 均为菱形， ，且 .
(1)、求证： 平面 ；(2)、求直线 与平面 所成角的正弦值. -
9. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2 ，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．
(1)、求证：AC⊥DE(2)、已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为 ，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值． -
10. 在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2 ，M为AB的中点．
(1)、求证：AC⊥SB；(2)、求二面角S﹣CM﹣A的平面角的余弦值． -
11. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O ， AE⊥平面ABCD ， CF//AE ， AB=AE=2.
(1)、求证：BD⊥平面ACFE；(2)、当直线FO与平面BDE所成的角为45°时，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值. -
12. 如图，在四棱锥 中，底面ABCD是菱 形，PA＝PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是AB的中点.
(1)、求证：PE⊥AD；(2)、若CA＝CB，求证：平面PEC⊥平面PAB． -
13. 如图，在四棱锥 中， ，且 .
(1)、证明：平面 ⊥平面 ；(2)、若 ， ，求二面角 的余弦值. -
14. 如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为 的正方形，PA⊥BD．
(1)、求证：PB=PD；(2)、若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小． -
15. 如图，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是正三角形，△ACP是直角三角形，∠ABP=∠CBP，AB=BP．
(1)、证明：平面ACP⊥平面ABC；(2)、若E为棱PB与P不重合的点，且AE⊥CE，求AE与平面ABC所成的角的正弦值．
